Вейвлет-разложение как способ представления речевого сигнала

Рассмотрим сигнал как значения непрерывной функции времени . Очевидно, что - локализована, т. е. f  .

Если конструировать базис функционального пространства с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета с произвольными значениями базисных параметров – масштабного коэффициента a и параметра сдвига b:

, a,b  R,   ,

то на его основе можно записать интегральное вейвлет-преобразование

Результатом вейвлет-преобразования сигнала является двумерный массив амплитуд - значений коэффициентов W(a,b) [102-104, 106]. Распределение этих значений в пространстве (a,b) = (временной масштаб, временная локализация) дает информацию об эволюции относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется вейвлет-спектром.

Введя аналог частоты , где j и k – целые числа, с помощью дискретных масштабных преобразований и сдвигов мы можем описать все частоты и покрыть всю ось, имея единственный базисный вейвлет .

Если вейвлет имеет единичную норму, то все вейвлеты семейства вида

также нормированы на единицу, т. е.

Вейвлет называется ортогональным, если семейство представляет собой ортонормированный базис функционального пространства .

Вейвлеты покрывают все пространство, используя смещение по-разному сжатых вариантов единственной функции, следовательно, любую функцию из можно разложить в вейвлет-ряд

Признаки вейвлета

Для практического применения важно знать признаки, которыми обязательно должна обладать функция, чтобы быть вейвлетом:

Локализация. Вейвлет должен быть локализован и во временном пространстве, и по частоте.

Нулевое среднее:

Часто для приложений оказывается необходимым, чтобы первые моментов были равны 0:

Такой вейвлет называется вейвлетом -го порядка. Обладающие большим числом нулевых моментов вейвлеты позволяют, игнорируя наиболее регулярные полиномиальные составляющие сигнала, анализировать мелкомасштабные флуктуации и особенности высокого порядка.

Ограниченность:

Опишем сигнал в терминах вейвлет-преобразования при помощи его средних (по некоторым интервалам) значений и изменений вокруг этих средних (флуктуациями). Это позволит вскрыть флуктуационную структуру сигнала на разных масштабах, что приводит к понятию многомасштабного анализа.

Многомасштабный анализ

Многомасштабное приближение представляет собой нарастающую последовательность замкнутых линейных пространств со следующими свойствами:

1. всюду плотно в ;

2. и ;

3. и ;

4. такая функция что последовательность является ортонормальным базисом Рисса в пространстве .

С учетом многомасштабного анализа разложение функции в вейвлет-ряд имеет вид:

(2.14)

при этом является уровнем детализации, - коэффициенты вейвлет-разложения, , - скейлинг-функция или масштабная функция, , - базисный или «материнский» вейвлет. Эти коэффициенты зачастую называют суммами ( ) и разностями ( ), связывая со средними значениями и флуктуациями соответственно.

Возвращаясь к вейвлетам, отметим, что образуют ортонормированный базис ; образуют ортонормированный базис в , где - ортогональное дополнение в . Полный набор и при всех образуют ортонормированный базис в .

Вейвлет-коэффициенты и можно вычислить по формулам:

(2.15)

(2.16)

Первая сумма в (1) со скейлинг-функциями содержит средние значения по диадным интервалам (усреднение проводится с весовыми функциями , отличными от нуля только на -том отрезке). Второй член содержит все флуктуации по данным интервалам. Эти флуктуации проистекают из всех меньших интервалов, заключенных внутри данного и соответствующих большим значениям параметра масштабирования . Этот член фокусирует наше внимание на все более тонких деталях изучаемого сигнала. На любом уровне детализации общее число членов в разложении остается неизменным и равным , где - начальный уровень с наименьшими интервалами, число членов в каждой сумме зависит от выбранного уровня разрешения. На -том уровне имеется -коэффициентов и - коэффициентов.

Представление (2.14) взаимно однозначно для любой функции из , т.е. коэффициенты преобразования определяются единственным образом для заданного вейвлет-базиса и функция может быть полностью восстановлена по коэффициентам разложения. На самом детальном уровне остаются только коэффициенты и получается представление скейлинг-функцией, конечное представление улавливает все флуктуации, имеющиеся в сигнале. При практическом анализе сигналов скейлинг- и вейвлет-функции называют широкополосными и узко-полосными фильтрами, т. к. они отфильтровывают компоненты сигнала на больших и малых масштабах.

Вейвлеты Добеши

Свяжем функцию с ее сдвинутыми и сжатыми модификациями. Простейшее линейное соотношение с числом коэффициентов можно записать в виде:

Величина масштабирующего множителя определяет размер ячеек выбранной решетки, число - число коэффициентов и длину области задания вейвлета. Для ортонормированных базисов

Если известна, тогда можно построить базисный вейвлет по формуле:

, где . Связь и рассмотрим ниже.

В практических приложениях используются только вейвлет-коэффициенты без вычисления конкретной формы вейвлета.

Общие свойства скейлинг-функций и вейвлетов однозначно определяют коэффициенты в рамках многомасштабного анализа.

Из свойства ортогональности масштабных функций:

(2.17)

Из ортогональности вейвлетов масштабным функциям:

Отсюда получим

(2.18)

т. е. однозначно определяют .

Условие ортогональности вейвлетов полиномам до степени :

(2.19)

Вообще говоря, чем больше моментов равны нулю, тем больше вейвлет-коэффициентов для гладких функций близки к нулю. Очевидно, число нулевых моментов важно для достижения более сильного сжатия сигнала.

Условие нормировки:

(2.20)

Набор всех возможностей (2.17) - (2.20) задает полную систему вейвлетов данного порядка из известного семейства ортонормальных вейвлетов Добеши. Вейвлеты Добеши с компактным носителем определяются однозначно для данного многомасштабного анализа с точностью до сдвига аргумента (смещения).

После того, как выбран определенный вейвлет, т. е. коэффициенты и , можно проводить вейвлет-преобразование сигнала , поскольку задан ортонормальный вейвлет-базис. Коэффициенты и из разложения (2.14) можно вычислить по формулам (2,3). При этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, поэтому на практике их значения находятся с помощью быстрого вейвлет-преобразования.

Быстрое вейвлет-преобразование

В реальных ситуациях с оцифрованным сигналом мы имеем дело с конечным набором цифр (точек). Поэтому всегда существует наилучший уровень разрешения, когда каждый интервал содержит по одному числу. Припишем значение этому уровню разрешения.

Многомасштабный анализ приводит естественным путем к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов заданной функции.

В общем случае итерационные формулы быстрого вейвлет-преобразования имеют вид:

с .

Эти уравнения обеспечивают быстрые (так называемые пирамидальные) алгоритмы вычисления вейвлет-коэффициентов. Начав с , мы вычислим все другие вейвлет-коэффициенты при известных и . Явный вид вейвлета при этом не используется. Коэффициенты по сути представляют собой локальные средние значения сигнала, взвешенные со скейлинг-функцией. В случае, когда доступны только дискретные значения , простейшее принимаемое решение состоит в непосредственном использовании величин из доступного набора данных в виде коэффициентов .