Формы преобразования Фурье

Непрерывное преобразование Фурье

Известно несколько форм представления ряда Фурье:

1. синусно-косинусная;

2. амплитудно-фазовая;

3. комплексная.

А. Синусно-косинусная форма

Функция - периодическая с периодом . «Классическая» синусно-косинусная форма представления этой функции в виде ряда Фурье имеет вид:

, (2.7)

где , .

Здесь - «основная» частота ряда частот гармоник, на которые раскладывается сигнал .

0 0 1 2 3 0 1 2 3

Достоинство такого представления – вещественность величин и .

Недостаток – не очень понятна необходимость функций и .

1. Б. Амплитудно-фазовая форма

Запишем (2.7) в виде:

. (5.2)

Или, что то же,

.

Сравнивая с (5.1), видим, что:

откуда

.

2. В. Комплексная форма

В амплитудно-фазовой форме полагаем:

.

Получаем:

; (2.8а)

(2.8б)

Дискретное преобразование Фурье

Пару непрерывных преобразований Фурье обычно записывают в виде:

(2.9а)

(2.9б)

Перепишем соотношения (2.8) в виде:

;

.

При эти соотношения превращаются в пару непрерывных преобразований Фурье, поэтому:

(2.10)

.

Можно рассуждать и по-иному. Сравним соотношения:

;

.

Если функция , тогда, периодизируя ее, можем записать:

, что совпадает с полученным ранее соотношением (2.8).

Таким образом, с учетом соотношений (2.6) и (2.8) можем записать:

; (2.11а)

, (2.11б)

где обозначено . Сравнивая пары соотношений (2.9) и (2.11), видим, что пару (5.6) можно формально и абсолютно точно получить, заменяя в (2.9а) бесконечные пределы интегрирования на конечные, а в (2.9б) – заменяя интеграл суммой. Причина точности произведенной замены – периодическое продолжение функции времени, приводящее к дискретизации спектра. Чтобы подчеркнуть периодический характер функции времени, мы и применили обозначение .

Используя дуальность времени t и частоты f, а также полученный выше результат о возможности формального перехода от пары непрерывных преобразований Фурье к паре дискретно-непрерывных преобразований Фурье, сразу запишем:

; (2.12а)

, (2.12б)

Продолжая развивать идею «дискретизации-периодизации», приходим к паре дискретных соотношений:

;

, где .

1. 

4. 0 -

5. 

Обозначая , получим «классическую» пару дискретных преобразований Фурье (ДПФ):

; (2.13а)

(2.13а)

Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Пару ДПФ часто записывают в виде:

где

,

- отсчеты сигнала, - коэффициенты ДПФ.

Для вычисления одного элемента последовательности необходимо примерно операций комплексных умножений и сложений, если вычисления производить «в лоб», т.е. в соответствии с приведенным выше соотношением. БПФ – это «хитроумная» схема вычислений, при которой количество вычислительных операций удается сделать существенно меньшим. Например, если N - степень двойки, тогда количество вычислительных операций пропорционально величине . Преимущества алгоритма БПФ быстро увеличиваются с ростом N, что существенно при обработке массивов большой размерности.

Еще более заметен выигрыш алгоритма БПФ при обработке двумерных массивов чисел, например, при обработке изображений. В этом случае необходимо операций против при «лобовых» вычислениях.

Существует несколько разновидностей алгоритма БПФ. Ниже будет изложена модификация алгоритма БПФ: с прореживанием по времени. Существует и вторая - с прореживанием по частоте. При этом рассмотрим случай, когда N - степень двойки.