4. Интерпретация, равносильность. Законы логики предикатов. Логическое следствие.

Опр. Вхождение переменной в формулу называется связанным, если переменная стоит непосредственно за квантором, или входит в область действия квантора по этой переменной.

Вхождение переменной свободное  в противном случае.

Опр. Переменная называется свободной в формуле, если существует хотя бы одно свободное вхождение этой переменной в формулу.

Пример. .

Опр. Интерпретацией формулы F на непустом множестве M называется отображение , ставящее в соответствие:

символу константы  элемент из M,

символу n-местной функции f  некоторую функцию на M,

символу n-местного предиката A  некоторый предикат, заданный на M.

Результатом (F) интерпретации формулы является предикат , где переменные являются свободными в формуле F.

Опр. Формулы и называются равносильными, если для любой интерпретации на множестве M, и любых элементов , значения истинности высказываний и совпадают.

Опр. Формула называется тождественно истинной, если для любой интерпретации на множестве M, и любых элементов , высказывание истинно.

Теорема.



Законы логики предикатов:

1)  21) аналогичны законам логики высказываний.

22) ;

23) ;

Замечание:

1. .

Для доказательства неравносильности можно привести контрпример.

Пусть = «Число x чётное», = «Число x нёчетное»  одноместные предикаты на N.

Тогда и левая часть и правая часть равенства являются высказываниями:

л.ч. = «Для любого натурального числа x выполняется, что x чётное или x нечётное» = 1;

п.ч. = «Любое натуральное число чётное или любое натуральное число нечётное» = 0  0 = 0.

2. ;

Доказательством служит такая же интерпретация, как в предыдущем случае.л.ч. = «Существует натуральное число x, такое, что выполняется x чётное и x нечётное» = 0;

п.ч. = «Существует натуральное число чётное и существует натуральное число нечётное» = 1 & 1 = 1.

24) ;

25) ;

Замечание:

Для доказательства неравносильности можно привести контрпример.

Пусть = « x  y »  двухместный предикат на N.

л.ч. = «Для любого числа x существует y, превышающий или равный x» = 1.

п.ч. = «Существует число y, такое, что для любого x выполняется x  y» = 0.

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

Пусть , не содержит y, не содержит x.

30) ;

31) ;

32) ;

33) .

Опр. Формула называется логическим следствием формул , если для любой интерпретации на множестве M, и любых элементов , из того, что все значения , …, истинны, следует, что значение истинно.

4. Нормальные формы в логике предикатов

Опр. Формула F имеет предварённую нормальную форму (ПНФ), если , где , H не содержит кванторов.

Теорема.

Для всякой формулы F существует равносильная формула, имеющая ПНФ.

Доказательство:

Алгоритм приведения к ПНФ.

1. Исключить эквиваленцию и импликацию (по законам 21 и 20).

2. Занести отрицание к атомарным формулам (по законам де Моргана 17 и 18).

3. Вынести кванторы вперед, используя (если нужно) переименование переменных (по законам 22, 23, 28  33).

Опр. Формула F имеет сколемовскую нормальную форму (СНФ), если , где H не содержит кванторов и имеет КНФ.

Теорема.

Для всякой формулы F существует формула, имеющая СНФ, одновременно с F выполнимая или невыполнимая. Доказательство:

Алгоритм приведения к СНФ.

1, 2, 3  из алгоритма приведения к ПНФ.

Результат .

4. Бескванторную часть H привести к КНФ.

5. Исключить кванторы существования, поочередно слева направо, применяя одно из двух правил:

1 случай) ~ , где a  символ константы.

2 случай) ~

~ , где  символ функции, зависящей от переменных .

При выполнении 1, 2, 3, 4 шагов алгоритма получается формула, равносильная F, следовательно, выполнимая или не выполнимая одновременно с F.

Если существует интерпретация , при которой формула истинна, то существует значение , такое, что при этой же интерпретации  значение истинно. Т.е. формула выполнима.

Если существует интерпретация , при которой формула истинна, то для любых значений переменных существует подходящее значение , такое, что при этой же интерпретации  значение истинно. Т.е. существует функция ( ), для которой формула выполнима.

Опр. Множество формул выполнимо, если существует интерпретация на множестве M, и существуют элементы , такие, что все значения , …, истинны.

Невыполнимо  в противном случае.

Теорема.

Формула G является логическим следствием формул  множество формул не выполнимо.