3.2. Решение систем линейных уравнение методом Крамера

3.2.1. Элементы теории определителей.

Определитель второго порядка. Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени в 1750 г. Швейцарский математик Г.Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через определители, составленные из коэффициентов системы. Примерно через сто лет теория определителей, выйдя далеко за пределы алгебры, стала применяться во всех математических науках.

Рассмотрим таблицу вида:

(41)

где, a₁; в₁; а₂; в₂ - некоторые числа. Любая такая таблица называется матрицей второго порядка. Числа а₁ в₁ а₂, в₂ называются элементами матрицы.

Число, равное а₁ в₂ - а₂, в₁, называется определителем матрицы или определителем второго порядка и обозначается

Итак, по определению определитель матрицы равен

(42)

Рассмотрим систему двух линейных уравнений из примера 1

Ҳ +Ү= 1000

20Ҳ +2,5Ү= 4200

здесь

Если столбец коэффициентов при неизвестном Ҳ в этом определителе матрицы заменить на столбец свободных членов, то получим новый

определитель ∆Ҳ:

∆Ҳ=

Если столбец коэффициентов при неизвестном Ү заменить на столбец свободных членов, то получим определитель:

Решение системы двух данных уравнений по способу Крамера будет иметь вид:

Ҳ=

Y =

3.2.2. Определитель третьего порядка.

Рассмотрим квадратную таблицу вида:

(43)

где а₁ в₁с₁ а₂, в₂, с₂, а₃, в₃, с₃ - некоторые числа. Любая такая таблица называется матрицей третьего порядка.

Определитель матрицы (42), или определитель третьего порядка, обозначается

(44)

Этот определитель выражается через определители второго порядка следующим образом:

(45)

Раскрывая определители второго порядка по формуле (45) предыдущего пункта, находим, что

(46)

Формулу (45) запомнить значительно легче, чем формулу (46), если заметить следующее правило построения слагаемых в правой части равенства (44):

Берем первый элемент первой строки матрицы (43), т.е. a₁ и умножаем его на определитель матрицы второго порядка, получающийся из исходной матрицы (43) после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит взятый нами элемент; затем берем со знаком "минус" второй элемент первой строки, т.е. в₁ и умножаем его на определитель матрицы второго порядка, получающийся после вычеркивания из исходной матрицы (43) уже второго столбца и первой строки (на их пересечении стоит элемент в₁); берем третий элемент первой строки, т.е. с₁ и умножаем его на соответствующий ему определитель второго порядка.

Описанное правило и формулу (45) называют разложением определителя третьего порядка по элементам первой строки.

Вычисляем определитель третьего порядка из примера 2.

Если в определителе третьего порядка (на примере 2) первый столбец

заменить столбцом свободных членов из системы линейных уравнений в примере 2, то получим новый определитель ∆X

Его также можно вычислить, разложив по элементам первой строки

=800

По аналогии с определителем второго порядка, находим

Вычисляем определитель

Находим величину Y.

Вычисляем определитель ∆Z

В теории определителей доказывается теорема:

Система «n» линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы отличен от нуля.

Эта теорема позволяет любую систему из «n» линейных уравнений с «n» неизвестными проверить на наличие или отсутствие единственного решения еще до начала процедуры решения, т.е. до вычисления определителей ∆X, ∆Y, ∆Z.

Если определитель матрицы равен нулю, то система уравнений либо вовсе не имеет решений (она несовместна), либо имеет бесконечное множество решений.

Для решения систем линейных уравнений на ЭВМ имеются готовые пакеты прикладных программ, использующие алгоритмы Гаусса и Крамера.