2. Дифференцируемость функции в точке. Правила дифференцирования. Таблица производных.

Дадим еще одно важное

Определение 4.2.

Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение у в этой точке, соответствующее приращению х, представимо в виде у = А^.х + о(х), где А – некоторая константа.

Справедлива

Теорема 4.2. (критерий дифференцируемости)

Функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀ тогда и только тогда, когда она в этой точке имеет конечную производную.

Доказательство:1) Достаточность. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀. Значит, ее приращение в этой точке представимо в виде

у = А^.х + о(х),

где А – некоторая константа. Разделим обе части этого равенства на х и перейдем к пределу при х  0:

.

Значит, данная функция в точке х₀ имеет конечную производную, равную А.

2) Необходимость. Если функция у = f(x) в точке х₀ имеет конечную производную, т.е. , то согласно теореме 2.4,

, откуда у = f (x₀)x + (x)x,

где (х) – бесконечно малая при х  0.

Так как , то (x)x = о(х). Значит,

у = А^.х + о(х), где А = f (x₀). ЧТД.

Таким образом, понятия «дифференцируемая функция» и «функция, имеющая конечную производную» – равносильные. Поэтому операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Функция f(x) дифференцируема на множестве Х, если она имеет производную в каждой точке этого множества.

Основные правила дифференцирования вам известны еще из школьного курса, поэтому здесь мы их только напомним (доказательство этих правил разберите самостоятельно). Пусть с - постоянная, u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции. Тогда

1. ( с) = 0

2. (cu) = cu

3. ( u + v ) = u + v

4. ( u - v ) = u - v

5. ( u v) = uv + uv

6. 

6.а.

7. ( F(u(x)) ) = F (u)u(x)

8. , если у(х) и х(у) – взаимно обратные функции.

Докажем два последних правила:

7) Если функция и = и(х) дифференцируема в точке х₀, а функция у = F(u) имеет производную в точке и₀ = и(х₀), то функция F(u(x)) имеет производную в точке х₀, причем

( F(u(x₀))) = F (u₀)u(x₀)

Доказательство: Пусть х = х₀, придадим переменной х приращение х и рассмотрим точку х₀ + х. Тогда функция и = и(х) получит приращение

и = и(х₀ + х) – и(х₀).

Этому приращению будет соответствовать приращение

F = F(u₀+и) – F(u₀).

Причем, в силу существования производных заданных функций, а следовательно, их непрерывности в соответствующих точках, имеем

х  0  и  0  F  0.

Поскольку

, то ,

где  бесконечно малая при и  0, а, значит, и при х  0. Из этого равенства имеем

F = F (u₀)и + и.

Разделив обе части этого равенства на х, и переходя к пределу при х 0, получим

F (х₀) =

= . ЧТД.

8) Если функция у = у(x) и ее обратная х = х(y) дифференцируемы, причем у (x)  0, то

Доказательство: По определению обратной функции, х(y(х)) = х для всех х из области определения этой функции. Поэтому, согласно предыдущей теореме,

(х(y(х))) = х(у)^.у(х) = 1,

откуда и следует равенство . ЧТД.

Заметим, что в доказательстве использован известный из школьного курса факт, что производная независимой переменной равна 1. Доказательство этого факта очень просто: если у = х, то по определению

у = х = .

Кроме правил вычисления производной, в школе вы доказывали и использовали формулы вычисления производных основных элементарных функций. Сведем эти формулы в единую таблицу, которую следует заучить наизусть.

В левой колонке таблицы указаны производные основных элементарных функций, а в правой – производные сложной функции соответствующего вида.

Таблица производных основных элементарных функций x - независимая переменная, u = и(х) – дифференцируемая функция,
х = 1 (sin x) = cos x (cos x) = – sin x	(sin и) = cos и  и (cos u) = – sin и и