14.Плотность вероятности и ее свойства.

Плотностью вероятности назыв. Ф-я f(x), являющаяся производной от ф-ии распределения. f(x)=F’(X).

Св-ва плотности вероятности:

1. Ф-я f(х) – монотонно возрастающая.

b

2. P(a≤X≤b)=∫ f(x)dx.

A

x

3. F(X)=∫ f(x)dx.

-∞

+∞

4. ∫ f(x)dx=1.

-∞

Пример ; Функция f(x) задана в виде:

Найти: а) значение А; б) выражение функции распределения F(х); в) вероятность того, что случайная величина Хпримет значение на отрезке [0; 1].

Решение. а) Для того, чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х, она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А. С учетом свойства 4 находим:

 , откуда А =   .

б) Функцию распределения находим, используя свойство 3:

Если x ≤ 0, то f(x) = 0 и, следовательно, F(x) = 0.

Если 0 < x ≤ 2, то f(x) = х/2 и, следовательно,

 .

Если х > 2, то f(x) = 0 и, следовательно

 .

в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке [0; 1] находим, используя свойство 2:

 = 0,25. ◄

15.Математическое ожидание, его свойства.

Математическое ожидание – сумма произведений значений СВ на соответствующую им вероятность.

n

M(X)=x1p1+x2p2…+xnpn=∑xipi

i=1

Cв-ва M(X):

1. M(C)=C.

2. M(X-(M(X))=0.

3. M(CX)=CM(X).

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y).

5. M(XY)=M(X)*M(Y).

16.Дисперсия, ее свойства.

 Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Пример. Пусть случайные величины  и имеют следующее законы распределения

	-0,1	0	0,1	0,4			-10	0,5	10
	0,3	0,15	0,3	0,25			0,4	0,2	0,4

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

.

.

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин

.

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин  и одинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания . Напротив, значения случайной величины значительно рассеяны относительно , а поэтому дисперсия имеет большое значение. ●

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Свойство 4. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

.