6. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Полная группа событий. Умножение вероятностей.
Условной вероятностью события А назыв. вероятность вычисленная при условии, что событие В имело место.
Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения события А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого.
Р (АВ) = Р (А) * Р (В|А) = Р (В) * Р (А|В)
Р (АВ) = Р (А) * Р (В) – для независимых событий.
События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется при наступлении другого события.
События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого (Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая).
События А1, А2 …Аnобразуют полную группу событий, если они попарно несовместны (события А и В называются несовместными, если появление одного из них в результате испытания исключает появление другого) и одно из них является событием достоверным.
7. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
Формула полной вероятности. Если событие Апроисходит с одним из событий Н1, Н2…Нn, образующих полную группу попарно несовместных событий, которые называются гипотезами, то вероятность того, что событие А наступит вычисляется по формуле:
Р(А) = Р(Н1)*Р(А|Н1)+Р(Н2)*Р(А|Н2)+Р(Н3)* Р(А|Н3)+…+Р(Нn)* Р(А|Нn)
Формула Бейеса. Пересчитывает вероятность гипотезы после того, как событие уже имело место.
где,
Р(А) = Р(Н1)*Р(А|Н1)+Р(Н2)* Р(А|Н2)+…+Р(Нn)* Р(А|Нn)
8. Схема Бернулли. Формула Бернулли.
Схема Бернулли. Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А (успех) с вероятностью Р (А) = р или противоположное ему событие Ā(неудача) с вероятностью Р (Ā) = q = 1- p, называется схемой Бернулли.
Формула Бернулли.
Если событие
А наступает в каждом испытании с
вероятностью рили
не наступает с вероятностью q
= 1 – p,
то вероятность того, что в n-независимых
испытаниях событие А наступит ровно m
раз вычисляется по формуле: Pn(m)
=
* pm
*qn-m
9. Наивероятнейшее число.
Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события А, если вероятность наступления события А m0 раз не меньше вероятности наступления события А другое число раз. np – q ≤ m0 ≤ np + p
10.Теорема Пуассона. Локальная предельная теоремы Муавра-Лапласа
Теорема Пуассона: Если n неограниченно возрастает, а р бесконечно мало, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз вычисляется по формуле:
где 
≤ 10 , если не выполняется то по этой формуле решать нельзя.
Задача: В среднем левши составляют 1%. Какова вероятность, что среди 200 студентов найдется ровно 4 левши?
Решение:
n= 200
m= 4
p= 1%=0,01
= 200* 0,01=2