M 1.Элементы комбинаторики. Правила сложения и умножения.

Комбинаторика- раздел математики, который изучает способы подсчета числа элементов различных множеств.

Выборкой из n-элементов длинной в k- элементов называется отбор k-элементов из общей совокупности n-элементов.

БЕЗ ПОВТОРА ЭЛЕМЕНТОВ	С ПОВТОРОМ ЭЛЕМЕНТОВ
1. Перестановками, без повторения элементов называются выборки из n-элементов длинной в n-элементов без повторений и с учетом порядка. Pn=n! n!=1*2*3…*n (1!=1; 0!=1) Все эл-ты	1. Перестановки с повторением и с учетом порядка. ,
2. Размещение без повторений назыв.выборки из элементов длинной в k-элементов без повторений и с учетом порядка. Часть эл-в	2. Размещение (с повторением элементов). Важен порядок! М.Б. k>n
3. Сочетаниями без повторения назыв. выборки из n- элементов длинной в k-элементов без повторения и без учета порядка.	3. Сочетание (с повторением элементов). НЕ важен порядок. М.Б. k>n

Правила сложения: если первый элемент можно выбрать - способами, второй - способ и тд. k-ый элемент - способами, то хотя бы 1 элемент м\б выбран (ИЛИ).

Правило умножения: если 1-ый элемент можно выбрать - способами, второй - способ и тд. k-ый элемент - способами, то все k- элементы одновременно можно выбрать. (И).

2.Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Операции над событиями. Алгебра событий.

Раздел математики изучающий случайные процессы и вероятности их наступления.

Опытом назыв. всякое действие, которое происходит неограниченное число раз при неизменном комплексе условий.

Событием называется результат опыта (А, В, С).

Невозможным называют событие которое заведомо не произойдет.

Достоверное называют событие которое может произойти или не произойти.

Суммой событий А и В назыв. событие с заключающийся в наступлении хотя бы одного из событий А и В.

Произведением событий А и В назыв. событие С, заключающееся в одновременном наступлении события А и В.

Разностью события А и В назыв. событие С, заключающееся в том, что А наступит, а В- нет.

Событие назыв. Противоположным к событию А и заключ. в том, что событие А- не наступит.

События А и В назыв. несовместными если, появление одного из них в результате испытания исключает появление другого.

События А и В назыв. независимыми, если вероятность появления одного из них не меняется при наступлении другого события.

События образуют полную группу событий, если они попарно не совместны и одно из них является событием достоверным.

3.Случайное событие, вероятность (классическое и аксиоматическое определения).

Случайное событие - такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Вероятность- это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Классическое определение вероятности:

Вероятностью события A= отношению числаm исходов благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных попарно несовместимых исходов.

Аксиоматическое определение вероятности:

Вероятное событие А= отношению числа m элементарных исходов, в которых событие А наступило к числу nэлементарных исходов, образующих полную группу.

4. Случайное событие, вероятность (статистическое, геометрическое определение вероятности).

Случайное событие - такое событие, которое при проведении данного опыта может произойти, а может и не произойти. События обозначаются: A, B, C, D...

Вероятность - это численная мера степени объективной возможности наступления события.

Статистическое определение вероятности:

Вероятность события А= отношению числа mисходов, в которых событие А наступило, к числу всех nисходов.

Геометрическое определение вероятности:

Пусть задана область G, внутри которого располагается область g; В область Gнаугад бросается точка. Вероятность того, что наугад брошенная точка попадет в область g, расположенная в области G, вычисляется по формуле:

, где mes-мера измерения.

5. Свойства вероятности. Расширенная теорема сложения вероятностей.

Свойства вероятности:

1. Вероятность невозможного события равна нулю

2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

3. Вероятность любого события не превосходит единицы

4. Если событие А влечет за собой событие В, то

5. Если события А₁, А₂…А_nобразуют полную группу несовместных события, т.е.

, то

Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность суммы двух несовместных событий (события А и В называются несовместными, если появление одного из них в результате испытания исключает появление другого) равна сумме вероятностей этих событий.

Р (А+В) = Р (А) + Р (В)

Замечание! Можно расширить на любое конечное количество событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий.Вероятность суммы двух совместных событий (события А и В называют совместными, если в одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление другого) равна сумме вероятности этих событий, за исключением вероятности их одновременного появления.

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).

Р (А₁+А₂+А₃+…+А_n) = 1 – Р (Ā₁*Ā₂*Ā₃*…*Ā_n)