Тема 2: «Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов».

Справочный материал

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f(x)

x			…
f(x)			…

Требуется найти формулу, выражающую данную зависимость аналитически.

Рассмотрим один из наиболее распространенных способов нахождения функции F(x). Предположим, что приближающая функция в точках , ,…, имеет значения , ,…, . Воспользовавшись метрикой Евклидова пространства, приходим к требованию, чтобы величина была наименьшей.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции, зависящей от трех параметров: .

Имеем .

Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций и имеет вид:

. Сумма является функцией от трех переменных. Используя необходимое условие экстремума: , , получаем систему уравнений

Решив систему относительно параметров a,b,c получаем конкретный вид функции F(x,a,b,c) . Изменение количества параметров не приведет к изменению сути самого подхода, а выразится в изменении количества уравнений в системе.

Значения разностей называют отклонениями измеренных значений,

от вычисленных по формуле. Сумма квадратов отклонений в соответствии с принципом наименьших квадратов должна быть наименьшей. Из двух разных приближений одной и той же таблично заданной функции лучшим считается то, для которого имеет наименьшее значение.

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции.

Ищем приближающую функцию в виде

Находим частные производные , .

Составляем систему вида

Далее имеем:

Разделим каждое уравнение системы на n, получаем:

Введем обозначения , , , .

Тогда последняя система будет иметь вид:

или в матричной форме

Вычислив значения параметров , в соответствии с формулами, получаем конкретные значения и, следовательно, конкретный вид линейной функции.

Нахождение приближающей функции в виде квадратичной функции.

Ищем приближающую функцию в виде

Находим частные производные , ,

Составляем систему вида

Пример.

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица некоторой зависимости f(x)

x	1	2	3	4
f(x)	2.9	5.2	6.8	9.2

а) Требуется найти формулу в виде линейной функции, выражающую данную зависимость аналитически.

Решение.

Находим обратную матрицу:

, , ,

. Значит, ,

Следовательно, приближающая функция в виде линейной функции имеет вид

Ответ:

) Требуется найти формулу в виде квадратичной функции, выражающую данную зависимость аналитически.

Решение.

Следовательно, приближающая функция в виде квадратного трехчлена имеет вид

Ответ:

Определить, какое приближение лучше.

Для этого вычислим сумму квадратов отклонений в первом и во втором случае:

Значения полученных в результате функций поместим в данную таблицу:

x	1	2	3	4
f(x)	2.9	5.2	6.8	9.2
	2.95	5	7.05	9.1
	2.975	4.975	7.025	9.125

Вывод: для данной функции приближение в виде квадратичной функции лучше.