Решение

Введем обозначения: х₁ – число изделий типа Т₁; х₂ – число изделий типа Т₂. Прибыль от реализации изделий Т₁ составляет х₁, а от реализации изделий типа Т₂ - 2х₂, т.е. необходимо максимизировать целевую функцию:

F = x₁ + 2x₂ → max.

Ограничения задачи имеют вид:

Первому ограничению соответствует прямая, проходящая через точки (0;8) и (8;0) (рис.2).

Рис.2

Второму ограничению соответствует прямая, проходящая через точки (0;5) и (20;0).

Решением неравенства х₁≤ 5 (ограничение по количеству изделий типа Т₁) является полуплоскость, лежащая слева от прямой х₁ = 5. Таким образом, область допустимых решений ЗЛП представляет собой пятиугольник.

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор – градиент = (1;2). При максимизации целевой функции следует двигаться в направлении вектора . В крайней угловой точке этого движения (точка А на рис.2) достигается максимум целевой функции.

Для нахождения координат точки А достаточно решить систему уравнений соответствующих прямых:

Отсюда легко получается решение ЗЛП: максимум целевой функции F = 12 достигается при х₁ = 4 и х₂ = 4.

Графический метод решения ЗЛП прост, нагляден, позволяет быстро и легко получить ответ. Однако он неприемлем для решения практических задач, т.к. его можно применять только в том случае, когда число переменных в стандартной задаче равно двум, или когда ЗЛП в канонической форме удовлетворяет условию n – r = 2, где n – число неизвестных задачи, r – ранг матрицы системы ограничений.

Поэтому необходимы аналитические методы, позволяющие решать ЗЛП с любым числом переменных.

2. Симплекс-метод решения злп

2.1.Геометрическая интерпретация симплекс-метода

Из основных свойств ЗЛП следует: если ЗЛП имеет оптимальное решение, то оно соответствует одной угловой точке многогранника решений и совпадает с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Порядок решения очевиден: перебор конечного числа допустимых базисных решений и выбор того, при котором целевая функция имеет экстремум. Геометрически это соответствует перебору угловых точек многогранника решений.

Однако число угловых точек резко возрастает с увеличением числа переменных и особенно числа ограничений. Так, для небольшой ЗЛП с 20 переменными и 10 ограничениями число угловых точек 3010⁶, а для задачи с 10 переменными и 20 ограничениями 4710¹². Чтобы сосчитать целевую функцию во всех этих точках, компьютеру с быстродействием 1 млн. операций в секунду потребуется около года. Вместе с тем такая задача решается им за доли секунды.

Дело в том, что используется специальный алгоритм решения: перебираются не все точки подряд, а, начав с любой из них, каждая последующая выбирается так, чтобы значение целевой функции было гарантированно ближе к оптимальному. Такой перебор сокращает число шагов при отыскании экстремума целевой функции.

Поясним сказанное на примере. Пусть область допустимых решений - многоугольник ABCDEF (см. рис.1), и пусть точка А – исходное допустимое базисное решение.

При беспорядочном переборе пришлось бы испытать шесть допустимых базисных решений, соответствующих шести угловым точкам. Из рисунка видно, что из точки А выгодно перейти к точке В, а затем к точке С. Вместо шести точек были перебраны только три, целевая функция последовательно улучшалась на каждом шаге. Эта идея последовательного улучшения целевой функции легла в основу универсального метода решения ЗЛП - симплекс-метода. По латыни «симплекс» означает «простой», что в данном случае переводится как простой выпуклый многогранник.

Геометрическая интерпретация симплекс-метода состоит в последовательном переходе от одной вершины многогранника решений к соседней вершине, в которой целевая функция принимает лучшее значение, до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение – вершина, где целевая функция максимальна.