12

Л3. Методы решения задач линейного программирования

1. Графический метод решения злп

Наиболее простым и наглядным методом решения ЗЛП является графический метод. Он применим для решения ЗЛП с двумя переменными. На плоскости х₂0х₁ строится многоугольник решений АBCDEF:

Рис.1

Среди точек этого многоугольника надо найти такую, в которой линейная функция F = c₁x₁+ c₂x₂ принимает максимум (минимум).

Рассмотрим линию уровня линейной функции F, т.е. линию, вдоль которой функция F принимает фиксированное значение С:

c₁x₁ + c₂x₂ = С. (1)

Примерами линий уровня являются линии постоянной температуры (изотермы) на картах прогноза погоды, параллели (линии уровня широты) и меридианы (линии уровня долготы) на географической карте.

Пусть надо найти самую северную точку страны. Это будет точка, имеющая наибольшую широту, т.е. точка, через которую проходит параллель с самой большой широтой. Именно так надо поступать при геометрическом решении ЗЛП. На многоугольнике решений ищется точка, через которую проходит линия уровня с наибольшим значением, если ищется максимум целевой функции.

Линии уровня (1) представляют собой параллельные прямые при различных значениях С, т.к. их угловой коэффициент определяется только соотношением между с₁ и с₂. Другими словами, линии уровня – это своеобразные параллели, расположенные под углом к осям координат.

При смещении линии уровня в одну сторону уровень только возрастает, а при смещении в другую – только убывает. Направление наибольшего возрастания функции показывает вектор-градиент, координаты которого равны частным производным функции:

. (2)

Градиент ориентирован перпендикулярно линиям уровня.

Если провести линию уровня через ноль и перемещать ее параллельно самой себе в направлении градиента, то можно найти точку максимума целевой функции подобно тому, как на географической карте находится самая северная точка.

Таким образом, графический метод решения ЗЛП сводится к следующим этапам:

1. На координатной плоскости х₂0х₁ строится многоугольник решений.

2. Находится градиент целевой функции .

3. Линия уровня c₁x₁ + c₂x₂ = С, перпендикулярная градиенту, передвигается в его направлении до тех пор, пока не покинет пределы многоугольника решений. Предельная точка этого движения и является точкой максимума целевой функции.

4. Для нахождения координат точки максимума решается система двух уравнений, описывающих пересекающиеся в этой точке прямые.

В случае минимизации целевой функции линию уровня надо передвигать в направлении, противоположном направлению градиента.

При графическом решении ЗЛП возможны случаи, когда область допустимых решений системы ограничений представляет пустое множество (условия задачи противоречивы) или не ограничена. В этих случаях оптимального решения не существует.

Пример 1. Мебельный цех выпускает изделия двух типов Т₁ и Т₂. На каждое изделие типа Т₁ расходуется 1 единица ресурса Р₁, 1 единица ресурса Р₂ и единица ресурса Р₃. На каждое изделие типа Т₂ расходуется 1 единица ресурса Р₁ и 4 единицы ресурса Р₂. Ресурсы мебельного цеха ограничены: в день можно расходовать не более 8 единиц ресурса Р₁, 20 единиц ресурса Р₂ и 5 единиц ресурса Р₃. Какое количество изделий типа Т₁ и Т₂ должен выпускать цех ежедневно, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации изделия Т₁ – 1 денежная единица, а от реализации Т₂ – 2 денежные единицы.