5. Формула полной вероятности. Формула Байеса

1. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 75% – из первого и 25% – из второго. При этом материал первого цеха имеет 15% брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что одна, взятая наугад, болванка окажется стандартной.

Решение. Пусть А – взятая болванка стандартная, Н₁ – взятая болванка поступила из первого цеха, Н₂ – взятая болванка поступила из второго цеха.

Условная вероятность того, что болванка поступила:

из 1 цеха ,

из 2 цеха ,

а .

Тогда, применяя формулу полной вероятности (4.1), имеем:

Ответ: 0,838.

2. Три станка изготавливают детали. Первый производит 20% всей продукции, второй – 30%, третий – 50%. Вероятность того, что с первого станка сойдет нестандартная деталь, равна 0,05; со второго – 0,03; с третьего – 0,01. Какова вероятность того, что, выбранная наугад деталь, окажется нестандартной?

Решение. Испытание сводится к выбору случайным образом детали. Мы можем сделать 3 предположения (гипотезы): Н₁, – деталь изготовлена 1-ым станком, тогда Р (Н₁)=0,2 (20% от всех деталей); Н₂ – деталь изготовлена 2-ым станком, тогда Р(Н₂)=0,3; Н₃ – деталь изготовлена 3-им станком, тогда Р(Н₃)=0,5. (Р (Н₁)+Р (Н₂)+Р(Н₃)=1).

Событие А – выбранная деталь нестандартная. По условию, имеем:

Р_Н1(А) = 0,05; Р_Н2(А) = 0,03; Р_Н3(А) = 0,01. По формуле (4.1) получаем:

Ответ: 0,024.

3. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустила ошибку, равна 0,06, а вторая – 0,09. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица (предполагается, что оба перфоратора были исправны).

Решение. Пусть событие А – допущена ошибка, событие Н₁ – карта набита 1 перфораторщицей, событие Н₂ – карта набита 2 перфораторщицей.

Имеем Р(Н₁)=Р(Н₂)=0,5; (А)=0,06; (А)=0,09.

Воспользуемся формулой Байеса (4.2), получим:

Ответ: 0,4.

4. В условиях задачи 2 деталь проверяется контролером, который признает ее стандартной с вероятностью 0,95, если она действительно стандартная и с вероятностью 0,1, если она действительно нестандартная (ошибочно). Определить вероятности следующих событий: а) деталь будет признана стандартной; б) деталь действительно стандартная при условии, что она признана стандартной.

Решение. Опыт состоит в проверке наудачу взятой детали. Возможны две гипотезы: А – деталь нестандартная и – деталь стандартная. Вероятности этих гипотез просчитаны в задаче 2 Р(А)=0,024; Обозначим через В событие, состоящее в том, что деталь признается стандартной. Согласно условию задачи и .

а) По формуле полной вероятности (4.1), получаем:

.

б) По формуле Байеса (4.2), находим

.

Ответ: 0,930; 0,997.

5. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и все предположения о количестве бракованных равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что: а) число бракованных равнялось i=0,1,2,3,4,5,6; б) взятое бракованное изделие было единственным (i=1).

Решение. Обозначим через Н_i, гипотезу, состоящую в том, что среди 6 изделий бракованных i=0,1,2,3,4,5,6. Согласно условию .

Событие А – взятое наугад изделие бракованное, а тогда

.

По формуле полной вероятности (4.1), найдем

а) Теперь по формуле Байеса (4.2), найдем вероятность того, что среди изделий i бракованных, если событие А произошло:

.

б) Подставим в полученную формулу значение i=1

.

Ответ: ; 0,048.

6. На склад поступает продукция трех фабрик. Продукция первой фабрики составляет 20%, второй – 46%, а третьей – 34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой фабрики равен 3%, для второй – 2% и для третьей – 1%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие произведено на первой фабрике, если оно окажется нестандартным.

Решение. Пусть событие Н_i, означает, что продукция поступила с i-ой фабрики, i=l,2,3, тогда Р (Н₁)=0,2; Р (Н₂)=0,46 и Р (Н₃)=0,34. Пусть событие А означает, что на склад поступила нестандартная деталь. По условию =0,03; =0,02 и =0,01. Нужно найти вероятность . Используем формулу Байеса (4.2):

Ответ: 0,323.