4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Предприятие в среднем выпускает 23% изделий высшего сорта и 68% первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие будет высшего или первого сорта.

Решение. Пусть А₀ – взятое изделие высшего сорта, а А₁ – взятое изделие первого сорта. Тогда , Р(А₁)=0,68.

Обозначим через А – изделие высшего или первого сорта. Имеем А=А₀+А₁, причем, А₀ и А₁, – несовместные события, тогда по формуле (3.1):

Р(А)=Р(А₀+А₁)=Р(А₀)+Р(А₁)=0,23+0,68=0,91.

Ответ: 0,91.

2. Из билетов, пронумерованных от 1 до 12, один за другим (без возвращения) выбирают 2 билета. Какова вероятность того, что номера этих билетов четные?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что выбранные 2 билета имеют четные номера, А₁ и А₂, – что выбранные первый и второй билеты четные. Тогда А=А₁ А₂. События А₁ и А₂ зависимые, поскольку вероятность появления А₂ зависит от того, произошло ли событие А₁ или нет. Действительно, если событие A₁ произошло, то , если нет, то . Так как то, применяя теорему умножения (формула (3.8)), получим

.

Ответ: .

3. Из коробки, содержащей 5 красных и 3 черных шариковых ручки, взяты наугад 2. Найти вероятность того, что

а) обе ручки красные;

б) ручки разных цветов.

Рассмотреть два случая:

1) извлеченная первой ручка не возвращается в коробку;

2) извлеченная первой ручка возвращается в коробку перед извлечением второй.

Решение. Введем обозначения для событий:

А – обе ручки красного цвета;

В – ручки разных цветов.

Следует найти Р(А) и Р(В). Введем события, связанные с извлечением одной ручки: А₁ – первая ручка красная; – первая ручка черная; А₂ – вторая ручка красная; – вторая ручка черная. Тогда А==А₁ А₂, .

Применим формулы (3.8) и (3.1):

,

В данном случае события и несовместны.

1 случай. Имеем Р(А₁)= . Учитывая, что после наступления события А₁, ручка не возвращается, то в коробке окажется 7 ручек, из которых 4 красных, т.е. .

Аналогично и .

Теперь можно найти искомые вероятности:

,

.

2 Случай. ,

(так как после наступления события А₁, ручка возвращена в коробку). Тогда

а) ,

Ответ: 1) 0,357; 0,536; 2) 0,391; 0,469.

4. Прибор собирается последовательно четырьмя рабочими. Независимо от остальных 1 рабочий может допустить брак с вероятностью 0,1; 2-ой и 3-ий – с вероятностью 0,09, а 4-ый – 0,15.

Готовый прибор относится к I сорту, если ни один рабочий не допустил брак, ко II сорту, если брак допущен 2-ым либо 3-им рабочим, к III сорту, если брак допустил 1-ый либо 4-ый рабочий и признается негодным в остальных случаях. Найти вероятность следующих событий:

а) А – прибор признан I сортом; б) В – II сортом; в) С – Ш сортом; г) D – прибор признан негодным.

Решение. Обозначим через А_i событие, состоящее в том, что i-ый рабочий не допустил брак (i=1,2,3,4), тогда i-ый рабочий допустил брак. По условию задачи

Тогда .

Интересующее нас событие можно представить следующим образом: А=А₁А₂А₃А₄; ;

Событие D противоположно сумме событий А+В+С, т.е. =А+В+С. Следовательно

Ответ: 0,633; 0,125: 0,182:0,060.

5. В условиях задачи 3.1.4. найти вероятность того, что прибор не будет принят вследствие того, что хотя бы один рабочий допустил брак.

Решение. Обозначим G событие, состоящее в том, что хотя бы один рабочий допустил брак. Тогда – ни один рабочий не допустил брак. По формуле (3.4) имеем

.

Ответ: 0,367.

6. Вероятность попасть в “десятку” равна 0,2; в “девятку” – 0,3; в “восьмерку” – 0,4. Найти вероятность выбить при одном выстреле не менее 8 очков.

Решение. Обозначим через А₁₀, А₉, А₈, – события попасть в “10”, в “9” или в “8”, а через А – событие выбить не менее 8 очков, что означает попасть либо в “8”,либо в “9”, либо в “10”. Тогда А=А₁₀+A₉+А₈. События А₁₀, А₉, А₈, – несовместны. Поэтому, применив формулу (3.2), получим

.

Ответ: 0,9.

7. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2 , или 5.

Решение. Введем обозначения для событий: А – взятое число, кратное 2; В – взятое число кратное 5; С – взятое число кратное или 2, или 5. Тогда С=А+В. Учитывая, что события А и В совместны (число может оказаться кратным 2 и 5 одновременно), нужно применить формулу (3.5).

Среди возможных двузначных чисел 10,11,12,13,.....98,99 половина из них, то есть 45 чисел кратна 2; 18 – кратно 5; 9 – кратно 2 и 5.

Тогда .

Следовательно получим:

.

Ответ: 0,600.