5. Прогнозирование по нелинейной регрессионной модели

• предыдущем разделе для прогнозирования одного показателя по значению другого использовалось линейное приближение. Но если данные плохо укладываются на прямую линию, линейная модель будет неадекватной, и прогноз по ней неточным. В таких случаях используют нелинейную регрессионную модель.

• ряде случаев с помощью преобразования переменных нелинейную модель

можно свести к линейной. Такие нелинейные модели называются внутренне линейными. Наиболее популярными в прогнозировании являются следующие нелинейные функции:

y  axb ; (степенная)				(5.1)
y  ab x ;		(показательная)		(5.2)
y  a	 b. (гиперболическая)				(5.3)
x

Для функции (5.1) необходимо ее прологарифмировать: ln( y)  ln(a)  b ln(x)

.

Введя обозначения			~		~	 ln(x);	~	~	 ln(a) , приведем ее к
			y  ln( y); x				A  b;	B
линейному виду	~		~~	~	. Проделаем описанные			в	предыдущем разделе
	y	 Ax		 B

вычисления для полученной линейной функции (но уже не с исходными данными xi

и yi, а с их логарифмами),

найдем

~

~

, из которых в результате получаем

A;

B

B

~

искомые коэффициенты a  e

~

b  A .

;

~

~

 x;

A  e

~

; B  e

~

Аналогично для функции (5.2):

B

A

, то

y  ln( y); x

есть xi оставляем без изменений, а yi логарифмируем.

~

~

~

~

 1/ x;

A 

Здесь вместо xi

Для функции (5.3): y  y;

x

A;

B  B .

берут 1/ x_i , а y_i не меняют.

Характеристики качества такой нелинейной регрессии вычисляются так же, как и для линейной, но с преобразованными данными.

Пример. Некоторая организация в течении 6 кварталов вкладывала всю прибыль в свое развитие. При этом предполагается, что прибыль растет по

показательному закону y  ab ^x (здесь фактор Х – номер квартала, Y – прибыль, млн. руб.). Составить уравнение регрессии, найти коэффициент нелинейной корреляции,

• при =0,05 проверить его значимость. Сделать прогноз прибыли на седьмой квартал.

	xi, кварталы					1					2		3				4				5		6
	уi, прибыль, млн.р.					1					2		5				9				15		27
		Решение.			Так,					как уравнение					внутренне					линейно,				преобразуем данные
~			~		~					 ln a , получаем следующую таблицу:
	y	 ln y; A  ln b; B
	xi			1					2			3				4			5				6
	~	 ln yi		0					0,69			1,61				2,2			2,71				3,3
	yi

Далее выполняем все вычисления по аналогии с примером 2. Находим средние оценки преобразованных данных:

____

___

___

~

 1,75;

~

 8,05;

x

2

 15,17;

~ 2

 4,36 , откуда по формуле

n  6; x  3,5; y

xy

y

(2) находим:

8,05  3,5 1,75

~

~

A 

 0,66;

B  1,75

 0,66

3,5 0,56 .

15,17  3,52

Возвращаемся к исходным параметрам:

~

 0,57;

~

1,94 .

a  eB  e0,56

b  e A  e0,66

Уравнение регрессии имеет вид y  0,57 1,94 ^x .

Коэффициент корреляции равен

r ~ 		8,05  3,5 1,75		 0,953
xy		15,17  3,52 4,36 1,752 

Проверяем на значимость:

0,953			(6  2)		 6,291  t0,95 (4)  2,776 ,
			 0,9532
1

откуда следует, что коэффициент корреляции значим.

Прогноз на седьмой квартал: y  0,57 1,94⁷  58,95 млн. руб.