Российский экономический университет им. Плеханова

Воронежский филиал

Методы моделирования и

прогнозирования экономики

Конспект лекций, примеры решения задач и задания для выполнения контрольной работы

Разработал: доц. Моисеев С.И.

Воронеж, 2014

Часть 1. Математические модели

ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

1. Моделирование производства

Рассмотрим простейшие модели производства, в основе которых лежит понятие производственной функции.

Производственные функции и их характеристики

Простейшую модель производства можно представить как некоторую систему, перерабатывающую различные виды ресурсов в готовую продукцию.

• качестве ресурсов могут выступать:  сырье;  трудовые затраты;

 энергозатраты;

 научно-исследовательские ресурсы;  технологические ресурсы;  транспортные ресурсы и др.

Ресурсы	ПРОИЗВОДСТВО	Готовая
		продукция

Производственной функцией называется зависимость между объемом произведенной продукции у и затратами различных видов ресурсов, необходимых для

выпуска этой продукции x₁ , x₂ ,..., x_n :

25.  f (x₁ , x₂ ,..., x_n ) .

На практике для упрощения модели часто используют двухфакторную производственную функцию y  f (x₁ , x₂ ) , включающую два вида ресурсов:

1. материальные x₁ , включающие затраты сырья, энергии, транспортные и др. ресурсы;

2. трудовые ресурсы x₂ .

Производственная функция должна удовлетворять р яду требований:

1. Без затрат ресурсов нет выпуска: f(0, 0) = 0.

2. С увеличением затрат любого из ресурсов выпуск ра стет, т. е. производственная функция должна быть возрастающей по любому из факторов.

3 . Закон убывания эффективности : при одних и тех же абсолютных

увеличениях затрат любого из

у		f(x)	ресурсов	х	прирост	объема
y1			производства у тем меньше, чем больше
y2		y1<y2	выпуск продукции. Другими словами,
			производственная функция должна быть
			выпуклой по каждому аргументу.
			Зная	производственную		функцию,
x	x	x	можно	рассчитать	ряд	числовых
			характеристик. Рассмотрим основные

из них.

1. Средней производительностью по каждому ресурсу называются величины:

A1		f (x1 , x2 )	,A2		f (x1	, x2 )
							,
		x1
					x2

которые имеют смысл среднего выпуска продукции из расчета единичных затрат данного ресурса.

Если x₁ — материальные затраты, а x₂ — трудовые, то A₁ называется капиталоотдачей, а А₂ — называется производительностью труда.

2. Предельной или маржинальной производительностью по каждому ресурсу называются величины:

M			f (x1 , x2 )	 f 	(x , x		) ,	M			f (x1 , x2 )		 f 			(x , x					) .
	1					2			2										2
				x	1								x				1
			x1									x2			2
			1

Эти величины показывают приближенно, на сколько единиц изменится выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на единицу:

M₁  ^y _x1 ; M ₂  ^y _x2 .

3. Частной эластичностью по каждому ресурсу называются величины:

E 	M1	; E			M 2	.
			2
1	A1				A2

Эластичности приближенно показывают, на сколько процентов изменится

4. Технологической нормой замены называется величина R12  ^{E1 x2} , которая

E₂ x₁

приближенно показывает, как изменится выпуск, если единицу одного ресурса заменить единицей другого.

• р и м е р 1 . Производственная функция имеет вид y  a x₁  ln(bx₂ ) . Найти

средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены.

Решение. Средние производительности равны:

A 

y



a

x1 ln(bx2 )



a ln(bx2 )

;

A 

y



a

x1 ln(bx2 )

.

1

x1

x1

2

x2

x2

x

1

Предельные производительности равны:

M

 y



a ln(

bx

2 )

;

M

 y



a

x1

.

1

2

x

2 x

x

x2

1

2

1

Эластичности равны:

E 

M1



1

; E



M 2



1

; E 

1



1

.

2

1

A1

2

A2

ln(bx2 )

2

ln(bx2 )

Технологическая норма замены есть

R



E1 x2



x1 ln(bx2 )

.

12

E2 x1

2x2

Линейная и Кобба-Дугласа производственные функции

На практике при моделировании реальных производств чаще всего используют два вида производственных функций: линейную и Кобба-Дугласа.

Линейная производственная функция имеет вид:

выпуск, если затраты того или иного ресурса изменятся на один процент:

	y				y
E 	y	; E			y		.
			2
1	x1 x				x2 x
						2
	1

Величина E  E₁  E₂ называется полной эластичностью или эластичностью производства.

y  a₁ x₁  a₂ x₂  b . _у

Она строится в случаях, когда

объем выпуска пропорционален затратам. Однако данная функция не удовлетворяет первому и третьему требованиям к производственным функциям, поэтому ее можно

Реальная функция

Линейное

приближение

Область

прибли-

жения

х

использовать для приближения реальных функций на небольших локальных участках изменения их аргументов (см. рисунок). Для выполнения второго требования

необходимо выполнение условий a₁  0; a₂  0 .

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

y  x₁^a1 x₂^a2 b .

Для выполнения всех требований к производственным функциям необходимо выполнение условий: 0  a₁  1; 0  a₂  1; b  0.

Найдем средние и предельные производительности, эластичности, технологическую норму замены для линейной и Кобба-Дугласа производственных функций.

Для линейной функции y  a₁ x₁  a₂ x₂  b будет:

A 

y



a1 x1  a2 x2  b

; A 

y



a1 x1  a2 x2  b

;

1

x1

x1`

2

x2

x2`

M1

 yx  a1 ; M

2  yx

 a2 ;

1

2

E 

M1



a1 x1

;

1

A1

a1 x1  a2 x2  b

E



M 2



a2 x2

; E 

a1 x1  a2 x2

;

2

A2

a1 x1  a2 x2  b

a1 x1  a2 x2  b

R



E1 x2



a1

.

12

E2 x1

a2

Таким образом, коэффициенты а₁ и а₂ линейной производственной функции имеют смысл предельных производительностей, и их можно вычислять по формулам:

a  y	x1	; a  y		.	(1.1)
1		2	x2

Для производственной функции Кобба-Дугласа y  x₁^a1 x₂^a2 b будет:

A 

y



x1a1 x2a2 b

 xa1 1 xa2 b;

1

x1

1

2

x1`

A 

y



x1a1 x2a2 b

 x a1 x a2 1b;

2

x2

1

2

x2`

M	1	 y	 a xa1 1 xa2 b; M	2	 y		 a xa1 xa2 1b;
		x	1 12		x	2	2 12
		1

E 

M1

 a ; E



M 2

 a

; E  a  a

;

2

2

2

1

1

A2

1

A1

R 

E1 x2



a1 x2

.

12

E2 x1

a2 x1

Таким образом,

коэффициенты

а1 и а2

производственной функции Кобба-

Дугласа имеют смысл частных эластичностей, и их можно вычислять по формулам:

y

y

a 

y

; a



y

.

(1.2)

2

1

x1 x

x2 x

2

1

П р и м е р 2 . Некоторое предприятие,

затрачивая для производства 65

единиц

материальных затрат и 17 трудовых, выпускало 120 единиц продукции. В результате расширения и увеличении материальных затрат до 68 единиц выпуск возрос до 124 единиц, а при увеличении трудозатрат до 19 единиц выпуск вырос до 127 единиц. Составить линейную производственную функцию и функцию Кобба-Дугласа.

Решение. Записав для удобства

х1

65

68

—

исходные данные в виде таблицы и

х2

17

—

19

применив

формулы

(1.1)

у

120

124

127

и (1.2), рассчитываем параметры

производственных функций.

Линейная функция

y  a1 x1  a2 x2  b . Для нахождения параметров а1 и а2

используем формулу (6.1):

a

 y



124 120



4

;

a

 y



127 124



3

.

2

1

x1

68  65

3

x2

19 17

2

Получаем y 

4

x



3

x

 b .

Для нахождения b подставляем в уравнение

3

1

2

2

исходные

данные

из

2-го

столбца

таблицы: 120 

4

65 

3

17  b решаем

b 17,7 . В

3

2

уравнение относительно b, получаем

итоге

получаем

линейную

производственную функцию

y 

4

x



3

x

17,7 .

2

3

1

2

Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид y  xa1 xa2 b . По формуле
											1	2
(6.2) находим коэффициенты уравнения:
	(124 120)										(127 124)
a 		124	 0,73;		a						127	 0,22 .
		 65)					2				(19 17)
1	(68
		68									19
Получаем уравнение вида			y  x0,73 x0,22b .								Для нахождения b подставляем в
			1		2

уравнение исходные данные из 2-го столбца таблицы: 120  65^0,73 17^0,22 b .

Вычисляя, получаем b 	120			 3,05 . В результате производственная
	21,06 1,87
функция имеет вид y  x0,73  x0,22			3,05 .
1	2