Принадлежность прямой плоскости
Прямая принадлежит (или лежит ) плоскости, если две ее точки принадлежат плоскости . Но лучше использовать несколько иное определение, звучит оно иначе, но по сути тоже самое. Зато оно упрощает решение задач.
Прямая принадлежит плоскости, если она пересекает две прямые, образующие плоскость.
Рисунок 32
Среди множества прямых, принадлежащих плоскости, есть прямые, которые называют главные линии плоскости.
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций П1. Ее обозначают буквой h.
Фронталь плоскости – Это прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций П2. Ее обозначают буквой f.
Примеры этих прямых на рисунке 33
Прямая AE – это горизонталь, т.к. ее проекция A2B2 параллельна оси X, т.е. расположена горизонтально.
Прямая CK – фронталь, т.к. ее проекция C1K1 параллельна оси X, т.е. расположена горизонтально.
Рисунок 33
Принадлежность точки плоскости
Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести прямую, лежащую в плоскости, т.е. пересекающую две прямые, образующие плоскость.
Рисунок
34
Упражнение. Построить недостающую проекцию треугольника, лежащего в плоскости, заданной параллельными прямыми.
Рисунок 35
Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна хотя бы одной прямой, лежащей в плоскости ( рисунок 36).
Упражнение. Провести через точку прямую, параллельную плоскости (рисунок 37).
Рисунок
36
Рисунок
37
Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны между собой, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (рисунок 38).
Рисунок
38 Рисунок 39
Упражнение. Задать произвольную точку К и провести через нее плоскость, параллельную заданной (рисунок 39).
Пересечение прямой с проецирующей плоскостью
Если прямая пересекает плоскость – это значит, что она имеет с ней одну общую точку. И эту точку необходимо определить.
Вспомним свойство плоскостей частного положения – все они перпендикулярны одной из плоскостей проекций, а, следовательно, проецируются на них в прямую. Все точки, лежащие в этих плоскостях, проецируются на эту прямую, а значит и точка пересечения прямой с плоскостью проецируется на эту прямую. Но эта же точка лежит на заданной прямой. Следовательно, чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, надо искать общую точку у проекций прямой и плоскости (рисунок 40).
Упражнение. Найти точку пересечения прямых с соответствующими плоскостями (рисунок 40).
Рисунок 40
Пересечение плоскостей, одна из которых плоскость частного положения
Плоскости пересекаются по прямой. Чтобы построить линию пересечения плоскостей, надо искать у них две общие точки. Это сделать не сложно, если одна из плоскостей проецируется в прямую, а это возможно, если одна из плоскостей плоскость частного положения ведь все они перпендикулярны одной из плоскостей проекций (рисунок 41).
Упражнение. Построить линию пересечения двух плоскостей (рисунок 42)
.
Рисунок 41
Рисунок 42
Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Эта задача решается с применением правила нахождения точки пересечения прямой с плоскостью. Ее называют основной позиционной задачей начертательной геометрии.
Рассматривать решение этой задачи мы не будем, т.к. в начертательной геометрии есть методы, позволяющие обойти решение таких задач и решать их в частном виде, например, как пересечение прямой с проецирующей плоскостью, рассмотренной ранее.
Методы преобразования проекций
Методов преобразования проекций много. Разберем самый простой из них - замена плоскостей проекций.
Суть этого метода заключается в том, что при неизменном положении геометрических элементов в пространстве, плоскости проекций заменяются поочередно на новые, при этом сохраняется перпендикулярность плоскостей.
Новые плоскости подбираются таким образом, чтобы геометрические элементы заняли по отношению к новым плоскостям частное положение.
Разберем принцип замены плоскостей проекций на примере точки.
Даны две перпендикулярные между собой плоскости проекций П1 и П3.
Введем
новую плоскость проекций П4,
перпендикулярную плоскости П1.
В этом случае появляется новая система плоскостей проекций П1-П4.
Спроецируем точку в системе плоскостей проекций П1 – П2 и П1 – П4.
Обратите внимание, что при такой замене плоскостей проекций у точки сохраняется координата Z.
Перейдем к комплексному чертежу. Первым строим чертеж в системе плоскостей проекций П1 – П2. Проекции точки А1 – А2 лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси X.
Выбираем в данном случае положение оси X» произвольно, а в дальнейшем будем ее выбирать особым образом. Тогда для построения проекции точки А4 надо использовать координату Z, а это есть расстояние от А2 до оси X.Откладывать это расстояние будем по перпендикуляру, проведенному из А1 к оси X», и от оси X». Т.е. А1 и А4 лежат на одном перпендикуляре к оси X» так же, как А1 и А2 на одном перпендикуляре к своей оси X (рисунок 43).
Рисунок 43