МИНИСТЕРСВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

Высшего образования «Южно-Уральский государственный университет»

(Национальный исследовательский университет)

Филиал в г. Миассе

Кафедра «Техническая механика и естественные науки»

Бережко Л.Н.

Краткий конспект лекций по начертательной геометрии

с упражнениями для студентов заочной формы обучения

Миасс, 2017

Проецирование точки на три плоскости проекций

Проецирование – это процесс получения изображения. Это изображение в начертательной геометрии называют проекцией.

В основе инженерного проецирования лежит метод ортогонального (прямоугольного) проецирования.

Проекция точки на плоскость проекций получается в пересечении проецирующего луча, проведенного через точку перпендикулярно плоскости проекций, с этой плоскостью. По другому можно себе представить, что проекция точки есть ее изображение на плоскости, только это изображение называют проекцией.

П1 – плоскость проекций

А1 – проекция точки А на П1

Рисунок 1

Подойдите к зеркалу, возьмите в руку небольшой мячик, катышек хлеба или еще что-то круглой формы и вы увидите в зеркале его изображение – это и есть проекция предмета или точки, которую вы держите в руке. В дальнейшем эту операцию можно проделывать и с прямой, и с плоскостью, и с любой поверхностью. Каждый раз вы будете видеть изображение отдельного предмета или нескольких предметов, например, две параллельные прямые – это два параллельных карандаша и т.д. Этот метод позволяет лучше понять принцип проецирования.

При ортогональном проецировании плоскости проекций перпендикулярны друг другу. Название плоскостей проекций определяется их положением:

Горизонтальная плоскость проекций - П₁

Фронтальная плоскость проекций – П₂

Профильная плоскость проекций – П₃

Соответственно проекции точки называются:

А₁ – горизонтальная проекция точки А

А₂ – фронтальная проекция точки А

А₃ – профильная проекция точки А

Оси координат X, Y,Z являются линиями пересечение плоскостей проекций.

Рисунок 2

На рисунке 2 показаны плоскости проекций. Точка спроецирована на эти плоскости. А также показаны координаты точки А.

В результате на рисунке 2 видна взаимосвязь между проекциями точки А и ее координатами.

Для построения горизонтальной проекции точки А (А₁) надо знать координаты Xa и Ya.

Для построения фронтальной проекции точки А надо знать координаты Xa и Za.

Для построения профильной проекции точки А надо знать координаты Za и Ya.

В начертательной геометрии используют не пространственный чертеж точки, а плоский, именно он лежит в основе получения технического чертежа.

Для получения комплексного (плоского ) чертежа надо развернуть плоскости проекций до плоского положения, для этого ось Y надо мысленно разрезать, плоскость П₃ повернуть вправо до совмещения с П₂. Плоскость П₁ опустить вниз до совмещения с П_2.В результате получается плоский чертеж, который называют комплексным чертежом точки или эпюром (рисунок 3).

Рисунок 3 Рисунок 4

Далее вспомнив, что плоскости проекций безграничны, уберем границы плоскостей проекций и получим окончательный комплексный чертеж точки (рисунок 4).

Попробуем построить чертеж произвольной точки А ( 25, 5, 15) на рисунке 5

.

Рисунок 5

Упражнение. Построить чертеж точек с заданными ординатами:

А ( 30, 40, 15), В (40, 20, 10), С(45, 20, -20), Д ( 50, 20, 30), Е(50, 20, 40),

К(60,30,15), М(60,40,15), Р( 0,10,40), Ж( 25,0,20), Ф(15,15,0).

Обратим внимание на точки Д и Е, К и М. Эти точки называются конкурирующими. С помощью таких точек определяется видимость на чертеже.

Точки Д и Е. У точки Д координата Z меньше, чем у точки Е, остальные координаты одинаковые, следовательно они лежат на одном перпендикуляре к плоскости П₁ и называются горизонтально конкурирующими. Т.К. Z_д меньше, чем Z_Е, то точка Д лежит под точкой Е и ее проекция является видимой на плоскости П₁

Точки К и М . У точек одинаковы координаты кроме координаты Y, а это значит, что они лежат на одном перпендикуляре к плоскости П_2,их называют фронтально конкурирующими и точка М лежит перед точкой К, а следовательно на П₂ будет видима проекция М₂.

Безосный способ изображения точки

На практике в черчении не важно, где в пространстве находится изображаемый объект, а важны его форма и размеры. В этом случае необходимо на чертеже выдержать разницу координат, а не сами координаты, т.к. именно разница координат определяет размеры объекта. Для этого применяют безосный способ изображения точки.

Обратите внимание на рисунок 5. На нем видна связь между проекциями точки:

Горизонтальная и профильная проекции А₁ и А₂ лежат на одной вертикальной линии связи,

Фронтальная и профильная проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи (А₂ и А₃).

Эта связь сохраняется при выполнении безосного чертежа ( рисунок 6)

k k- постоянная эпюра, которая проводится под углом 45 градусов к основанию чертежа. Рисунок 6

В дальнейшем для решения задач будем использовать безосный способ изображения.

Комплексный чертеж прямой

Прямая в пространстве может быть задана двумя точками. Следовательно на чертеже ее можно задать чертежом двух ее точек ( рисунок 7).

Рисунок 7

Далее будем работать в системе двух плоскостей проекций П1 и П2. Тогда чертеж прямой будет выглядеть так

Рисунок 8

Если точка лежит на прямой, то проекция точки лежит на одноименной проекции прямой. Какие точки лежат на прямой, а какие нет (рисунок9).

Рисунок 9

Если точка делит отрезок в некотором отношении , то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении. Точка К принадлежит отрезку АВ и делит его в отношении 3:2, то проекция точки К делит проекции отрезка в том же отношении – АК:КВ=3:2 и А₁К₁:К₁В₁=3:2; А₂К₂:К₂В₂ =3:2 (рисунок 10).

Рисунок 10

Упражнение. На отрезке АВ найти точку, делящую его в отношении 1:4 (рисунок11)

Рисунок 11

Классификация прямых

По своему положению по отношению к плоскостям проекций прямые делят на прямые общего положения и прямые частного положения, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций.

Прямые частного положения в свою очередь делят на прямые уровня -параллельные какой либо плоскости проекций и проецирующие прямые -перпендикулярные какой либо плоскости проекций.

Прямые уровня.

Горизонталь - прямая параллельная П_1. Все точки этой прямой имеют одинаковую координату Z. Отсюда ее чертеж (рисунок 12)

Рисунок 12 Рисунок 13

Фронталь - прямая параллельная П₂. Все точки этой прямой имеют одинковую координату Y ( рисунок13)

Проецирующие прямые.

Горизонтально проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П₁. Следовательно на П₁ она проецируется в точку ( рисунок 14).

Рисунок 14 Рисунок 15

Фронтально проецирующая прямая – прямая перпендикулярная П₂. Следовательно на П₂ она проецируется в точку (рисунок 15).

Взаимное положение прямых в пространстве и на комплексном чертеже

Прямые параллельны, если параллельны их одноименные проекции (рисунок 16)

Если прямые пересекаются, то пересекаются их одноименные проекции и точки пересечения проекций лежат на одной линии связи ( рисунок 17).

Все остальные прямые скрещиваются (рисунок 18)

Рисунок 16 Рисунок 17

Рисунок 18

Упражнение. Определить, как расположены между собой прямые (рисунок19)

Рисунок 19

Упражнение. Провести через точку фронталь, пересекающую заданную прямую a (рисунок 20)

Рисунок 20 Рисунок 21

Упражнение. Через точку К провести прямую параллельную, заданной прямой (рисунок 21).