7. Как вычисляется возможная работа внутренних сил?

Пусть мы имеем два состояния. Первому из них отвечают внутренние силы , а второму. Тогда, используя формулу (15.4) и устраняя в ней коэффициент, получим следующее выражение для работы внутренних сил первого состояния на перемещениях, вызываемых силами второго состояния, и наоборот:

8. Как определяются прогибы и углы поворота в балке методом Мора?

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 15.5, а. Эту балку будем называтьзаданной. Обозначими, соответственно, изгибающий момент и перерезывающую силу, возникающие взаданной балке от действующей на неегруппынагрузокP. Пусть требуется определитьпрогиббалки в точкеK.

Введем в рассмотрениевспомогательную балку, представляющую собой ту же самую балку. Нагрузим ее только одной силой (рис. 15.5, б). Эту единичную силу мы приложим в точке K, то есть в той самой точке, где мы и собираемся определить прогиб.

Внутренние усилия, возникающие во вспомогательной балке, обозначим и.

Воспользуемся теперь теоремойо взаимности работ, согласно которой работавнешнихсил, приложенных к вспомогательной балке на соответствующих перемещениях заданной балки равнавзятой с обратным знакомработевнутреннихсил заданной балки на соответствующих перемещениях вспомогательной балки.

Тогда

. (15.5)

При определении перемещений в балке, как правило, можно пренебрегать влиянием перерезывающей силы, то есть второеслагаемое в (15.5) можно отбросить. Тогда, учитывая, что , окончательно получим:

.

Эту формулу в 1874 г. получил немецкий ученый Отто Мор(1835 – 1918 гг.). Определение перемещений по этой формуле часто называют определением перемещенийметодомМора, а саму формулу – интегралом Мора.

Необходимо иметь в виду, что входящие в интеграл Мораизгибающие моменты берутся в произвольном поперечном сечении и поэтому представляют собой аналитические функции от текущей координатыz.

Заметим, что если мы хотим в некоторой точке Kопределитьугол поворотапоперечного сечения, то нам необходимо к вспомогательной балке приложить не единичную силу, аединичный момент (рис. 15.5,в).

9. Как практически определяются перемещения (прогиб и угол поворота поперечного сечения) балки методом Мора?

Приведем порядок вычисления перемещений балки методом Мора:

1. к вспомогательной балке в той точке, где требуется определить перемещение, прикладываем единичное усилие (при определении прогиба прикладываем единичную силу ,а при определении угла поворота –единичный момент );

2. для каждогоучастка балки составляем выражения для изгибающих моментов заданнойи вспомогательнойбалок;

3. вычисляем интеграл Морадля всей балки по соответствующим участкам;

4. если вычисленное перемещение имеет положительныйзнак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичного усилия (отрицательныйзнак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичного усилия).

Пусть, например, для шарнирно опертой балки постоянной изгибной жесткости , длинойl, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностьюq (рис. 15.6,а), требуется определить прогиб посредине пролетаи угол поворота на левой опоре.

Начнем с определения прогиба.

В том месте, где нам нужно определить прогиб, к вспомогательной балке прикладываем единичную силу (рис. 15.6,б).

Записываем выражения для изгибающих моментов для каждого из двухучастков () заданной и вспомогательной балок:

.

Вычисляем интеграл Мора. Учитывая симметрию балки, получим:

.

Переходим к определению угла поворота поперечного сечения балки на левой опоре.

Нагружаемвспомогательнуюбалку единичным моментом , прикладывая его в том месте, где мы ищем угол поворота (рис. 15.6,в).

Записываем выражения для изгибающих моментов в заданной и вспомогательной балках только для одного участка ():

; .

Тогда интеграл Морабудет иметь вид:

.

Полученный нами положительный знак в выражении для угла поворота поперечного сечения балки указывает на то, что поворот сечения происходит по направлению единичного момента .