4. Как формулируется принцип возможных перемещений?

Этот принцип был сформулирован для абсолютно твердыхтел французским ученымЖозефом Луи Лагранжем(1736 – 1813 гг.) в 1788 г. и впервые применен кдеформируемымтеламС. Пуассономв 1833 г.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:если система находится в равновесии под действием приложенной к ней нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на всяком бесконечно малом возможном перемещении точек системы, допускаемых связями, равна нулю.

Или

,

где – возможная работа внешних, а– возможная работа внутренних сил.

Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения значения и направления внешних и внутренних сил считаются неизменными, то есть такими же, как и в исходном состоянии.

Поэтому возможная работа внешних и внутренних сил определяется простым произведением соответствующих сил и перемещений, т. е. в отличие от выражения дляупругойработы в выражении длявозможнойработы коэффициентанет.

Учитывая принятое в сопротивлении материалов допущение о малости деформаций, а также линейную зависимость деформаций от нагрузок, в качестве возможных перемещений можно принимать и конечные упругие перемещения, вызванные любым видом внешней нагрузки и происходящие без нарушения связей.

5. Как формулируется теорема Бетти (теорема о взаимности работ)?

Эта теорема, доказанная в 1872 г. итальянским ученым Энрико Бетти 1823 – 1892 гг.), формулируется следующим образом:возможная работа сил первого состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на соответствующих перемещениях, вызванных силами первого состояния.Приведем доказательство этой теоремы.

Наметим на балке две точки 1 и 2 (рис. 15.3, а). Приложимстатическив точке1силу. Она вызовет в этой точке прогиб, а в точке2–. Для обозначения перемещений мы используемдваиндекса. Первый индекс означает место перемещения (где), а второй – причину, вызывающую это перемещение(от какого усилия).

Так, например,означает прогиб балкив точке 2 от нагрузки .

После того, как закончен рост силы , приложим в точке2кдеформированномусостоянию балки статическую силу(15.3,б). Балка получит дополнительные прогибы:в точке 1 ив точке2.

Составим выражение для работы, которую совершают эти силы на соответствующих им перемещениях:

.

Здесь первое и третье слагаемые представляют собой упругие работы сили. Согласно теоремеКлапейрона, они имеют коэффициент. У второго слагаемого этого коэффициента нет, поскольку силасвоего значенияне изменяети совершаетвозможнуюработу на перемещении, вызванном другой силой.

Изменим теперь порядок нагружения балки. Сначала прикладываем к балке силу , а затем(рис. 15.3,в, г).

Тогда

.

Очевидно, что . Из этого равенства и следует теоремаБетти:

.

Заметим, что теорема Беттисправедлива как для случаявнешних, так и для случаявнутреннихсил.

6. А как формулируется теорема о взаимности перемещений?

Пусть и. Тогда, с учетом принятого нами обозначения перемещения от единичной силы, будем иметь:

.

Это выражение носит название теоремы о взаимности перемещений. Она была доказана английским ученымДж. Максвеллом(1831 – 1879 гг.) и формулируется следующим образом:

Перемещение точки приложения первой единичной силы, вызванное действие второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй единичной силы, вызванному действием первой единичной силы(рис. 15.4).