15. Общие теоремы

В этой важной беседе мы рассмотрим основные теоремы механики деформируемого твердого тела, которые эффективно используются при решении ряда задач сопротивления материалов.

1. Как формулируется теорема Клапейрона?

Согласно этой теореме: упругая работа внешней силы при статическом приложении равна половине произведения ее окончательного значения на соответствующее этой силе перемещение.

Эта теорема впервые была сформулирована французским ученым Бенуа Поль Эмилем Клапейроном (1799 – 1864 гг.) в 1852 г.

Докажем эту теорему. Определим работу, которую совершает сила , действующая, например, на балку, изображенную на рис. 15.1, а.

Будем считать, что нагрузка прикладывается к балке статически,то есть она медленно возрастает от нуля до заданной величины.

Пусть в некоторыймомент сила, достигшая значения, вызвала в месте своего приложения прогиб балки, равный.

Увеличим это значение силы на бесконечно малую величину . Такое изменение нагрузки приведет к дополнительному прогибу. Очевидно, что элементарная дополнительная работа определяется по формуле:

.

Тогда полная работа, совершенная внешней силой, будет равна:

. (15.1)

Для линейнодеформируемой системы (график зависимости между прогибоми силойPдля такой системы показан на рис. 15.1,б) прогиб балки пропорционален внешней нагрузке, то есть

, (15.2)

где –перемещение от силы, равной единице . Коэффициентчасто называют иподатливостьюсистемы.

Дифференцируя уравнение (15.2), найдем

. (15.3)

Подставляя (15.3) в (15.1) и учитывая, что, согласно (15.2), , окончательно получим

,

что и требовалось доказать.

2. Какая сила, и какое перемещение называются обобщенными?

Внешняя нагрузка, действующая на балку, обычно представляет собой группусил.Упругуюработугруппы силпо теоремеКлапейронаможно записать в виде:

,

где множитель Pзависит только от сил этой группы и называетсяобобщенной силой, азависит от перемещений и называетсяобобщенным перемещением.

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, моменты, распределенную нагрузку), а под обобщенным перемещением – тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Пусть, например, группасил состоит из двух равныхпостоянныхсилP, образующих пару. Момент этой пары (рис. 15.2) равен.

Допустим, что в результате деформации системы элементABповернулся на угол. Пути, пройденные точками приложения силPпо направлениям их действия, соответственно, равныи.

Суммарная работа обеих сил:

.

Следовательно, если обобщенной силой является момент M, то обобщенным перемещением является угол поворота .

3. Как определяется работа внутренних сил?

Если нагруженное тело находится в равновесии, то внутренние силы(силы упругости)равныпо значениювнешним силами противоположны им по направлению, поскольку они препятствуют развитию деформации. Поэтому работа внутренних сил U, с учетом их направления по отношению к деформации, всегдаявляется отрицательной.

При этом, очевидно, что работа внешних сил равна взятой с обратным знаком работе внутренних сил, то есть.

Пусть элемент стержня длиной испытывает растяжение.Действие отброшенных частей стержня на рассматриваемый элемент заменим продольными «растягивающими» силамиN, направленными от сечения. По отношению к элементу они являются как бывнешними. Тогда «вызываемое» ими удлинение элемента равно:

.

Действие рассматриваемого элемента на отброшенные нами частистержня представляет собой для рассматриваемого элемента как бывнутренниеусилия.Элементарнаяработа именно этих, постепенно увеличивающихся,внутреннихпродольных сил, противодействующих развитию удлинения, согласно теоремеКлапейрона, выразится формулой:

.

Теперь вычислим элементарнуюработувнутреннихперерезывающихсил причистомсдвиге. Напомним, что в этом случае считается, что касательные напряженияравномернораспределены по всему сечению и определяются по формуле:

.

Абсолютный сдвиг правого сечения элемента длинойпо отношению к левому сечению, с учетом законаГука, равен:

,

тогда

.

При поперечном изгибекасательные напряжения распределены по сечениюнеравномерно. В этом случае выражение дляэлементарнойработывнутреннихперерезывающих силможет быть представлено в виде:

,

где k– коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения стержня. Например, для прямоугольного поперечного сечения.

Определим теперь элементарнуюработувнутреннихусилий прикручении. Поворот правого сечения элемента длинойпо отношению к левому сечению, происходящий под действиемвнешнихпо отношению к нему крутящих моментов, согласно законуГука равен:

.

Тогда элементарнаяработавнутреннихкрутящих моментовна этом же угле поворота определяется по формуле:

.

Пусть теперь элемент стержня длиной испытываетчистый изгиб. И пусть его правое поперечное сечение повернется на уголпо отношению к левому сечению. Значение этого угла поворота мы определили ранее (см. беседу 7). Оно рано

.

Тогда внутренниеизгибающие моменты совершат на этом угле поворота следующуюэлементарнуюработу:

.

При одновременном растяжении,крученииипрямом поперечном изгибестержня (с учетом того, что работа каждого из внутренних усилий на перемещениях, вызываемых остальными усилиями, равна нулю) получим следующее выражение дляэлементарной работы внутренних сил:

.

Интегрируя это выражение по всей длине стержня, окончательно будем иметь:

.(15.4)