10. Чему равна потенциальная энергия деформации стержня?

Согласно закону сохранения энергии, работа внешних сил не исчезает, а переходит в потенциальную энергию V, накапливаемую в упругом теле при его деформировании. Следовательно,потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил при нагружении тела (или работе внутренних сил, совершаемой ими в процессе разгружения).

Обращаем внимание читателя на присутствие в этом предложении слова «численно». Его необходимо добавлять, потому, чтопотенциальная энергия и работа являются разными понятиями, и они не могут бытьравныдруг другу.

Таким образом, потенциальная энергия стержня, испытывающего, например, растяжение, кручение и прямой поперечный изгиб, равна:

.

Как видно из этой формулы, потенциальная энергия деформациивсегда положительна, поскольку она являетсяквадратичнойфункциейобобщенных сил (или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами).

Отсюда следует, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, накопленных от действия каждой нагрузки в отдельности.

То есть, принцип независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии деформации не применим.

11. Как формулируется теорема Кастильяно?

Теорема Карло Альберто Кастильяно (1847 – 1884 гг.), доказанная в 1875 г., формулируется следующим образом: перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ее действия равно частной производной от потенциальной энергии деформации по этой силе, то есть

.

Для определения перемещения (линейного или углового) в точке, где по условию задачи внешнее усилие (сила или момент) отсутствует, необходимо приложить в этом месте фиктивнуюобобщенную силу. Далее следует написать выражение для потенциальной энергии деформации от всех сил, включая и фиктивную, и взять от этого выражения производную по фиктивной силе. В полученном выражении для обобщенного перемещения фиктивную нагрузку необходимо принять равной нулю.

Продемонстрируем применение теоремы Кастильянона следующем примере. Определимугол поворота поперечного сечения в точкеKжестко защемленной балки, нагруженной распределенной нагрузкойq (рис. 15.7,а). Приложим к заданной балке на ее свободном конце в точкеKфиктивный момент(рис. 15.7,б). Изгибающий момент в произвольном сечении балки равен:

.

Потенциальная энергия деформации при изгибе балки (при пренебрежении влиянием перерезывающей силы) вычисляется по формуле:

.

Угол поворота равен:

.

Принимая в полученном выражении , окончательно найдем:

.

Теорему Кастильяно можно использовать и для раскрытия статической неопределимости. Рассмотрим, например, один раз статически неопределимую балку (рис. 15.8, а).

Для определения опорных реакций и, а также момента в жесткой заделкемы имеем толькодвауравнения статики:и. Мысленно удалимлишнююсвязь – правую опору и вместо нее введем в рассмотрениенеизвестнуюопорную реакцию, которую мы будем рассматривать, какактивнуюсилу (рис. 15.8,б). Однако перемещение полученной таким образом статически определимой балки в точке приложения силыдолжно быть равно нулю, поэтому .

Составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении статически определимой балки:

.

Потенциальная энергия деформации балки будет равна:

Так как перемещение в месте приложения неизвестной силы равно нулю, то

,

тогда

.

Решая полученное уравнение, находим реакцию правой опоры:

.

Теперь, составляя уравнения статики для исходной балки (см. рис. 15.8, а), мы можемлегко определить две остальные опорные реакции:

;

.

Эти результаты полностью совпадают с результатами, полученными нами другим способом для аналогичной статически неопределимой балки в беседе 7.