91

1 3. Задачи динамики

13. Задачи динамики

Вся теория, изложенная в предыдущих наших беседах, основывалась на статическомдействии внешних нагрузок. Мы полагали, что нагрузки, прикладываемые к стержням, возрастают от нуля до своего конечного значения настолькомедленно, чтоускорениямичастиц тела, возникающими при его деформировании, можно пренебрегать. Поэтому мы считали, что в каждый момент временивнешниеивнутренниесилы взаимно уравновешены.

Однако в процессе эксплуатации конструкции приходится иметь дело и с нагрузкой, которая может достаточно быстроменять свое значение или положение (например, в случае движущегося по мосту поезда). Такая нагрузка, называемаядинамической, вызывает весьма большие ускорения частиц тела при его деформировании, и поэтому в расчете, помимовнешнихивнутреннихсил, необходимо учитывать и так называемыесилы инерции.

1. Что понимается под силами инерции в сопротивлении материалов?

Говоря о силах инерции, мы будем иметь в виду реальные силы, которыепредставляют собой действие, оказываемое движущимися массами на безмассовый упругий скелет конструкции.

Проиллюстрируем сказанное на следующем примере. Пусть груз массой m, находящийся на консолиневесомой балки, совершает свободные колебания (рис. 13.1,а).

Отбросим массу (рис. 13.1,б) идействие движущейся массы на невесомую балку (на так называемый безмассовый упругий скелет) заменим силой инерции, где– прогиб балки в точке расположения массы, а точками обозначена вторая производная по времениt.

Обозначение производной по времени точкой предложено Исааком Ньютоном (1643 – 1727 гг.)

Заметим, что было бы ошибочноприкладывать реальную силу инерции к самой движущейся массе (рис. 13.1в), как это делается в некоторых учебниках по сопротивлению материалов.

Силы инерции, реально действующие со стороны движущихся масс на безмассовый упругий скелет конструкции, необходимо отличать от фиктивных сил Д'Аламбера, которые в теоретической механике условно прикладывают к самим движущимся массам и также называют силами инерции.

Обозначим буквой перемещение, вызываемоеединичнойсилой инерции. Тогда, на основании принципа независимости действия сил, упругий динамический прогиб балки в точке расположения массы может быть представлен в виде:

.

2. Как вычисляются напряжения в тросе при ускоренном поднятии (опускании) груза?

Пусть груз массойmподнимают на тросе с ускорением(рис. 13.2,а). И пустьпогоннаямасса троса (масса троса, приходящаяся на единицу его длины) равна.

Определим продольное динамическое усилие , возникающее в некотором сечении троса, находящемся на расстоянииот груза.

Отбросим движущиеся массы груза и участка тросадлинойzи заменим их действие набезмассовыйупругий скелет троса силой их веса

и суммарной силой инерции

,

направленной в сторону, противоположнуюускорению(рис. 13.2,б).

Из уравнения равновесия находим:

.

Если бы груз был неподвижен, то

.

Тогда, окончательно получим:

.

Эффект действия динамической нагрузки на практике, как правило, оценивается коэффициентом динамичности, представляющим собой отношениединамическогоусилия (перемещения) кстатическомуусилию (перемещению):

.

В рассматриваемом нами случае он оказывается равным:

. (13.1)

Таким образом, при поднятии груза с ускорением внутреннее динамическое продольное усилие в тросеможет в несколько раз превысить статическое усилие. Так, например, в скоростных лифтах, в которых большая скорость подъема может быть достигнута только благодаря большим ускорениям, динамическое усилие и, соответственно, динамическое напряжение в тросе бывает очень большим.

Если груз опускается с ускорением , то в формуле (13.1) перед вторым слагаемым нужно поставить знак «минус». Заметим, что при свободном падении груза, когда, динамическое усилие в тросе будет равно нулю.