5. Какие правила знаков для нормальных и касательных напряжений принимаются в сопротивлении материалов при изучении плоского нс?

Установим следующие правила знаков.

Для нормальных напряжений оно формулируется очень просто:нормальное напряжение, соответствующее растяжению, считается положительным, а сжатию – отрицательным.

Несколько сложнее выглядит правило для касательных напряжений.

Касательноенапряжение будем считать положительным, если одновременно выполняются (или одновременно не выполняются) следующие два условия:

• во-первых, направление напряжения совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси;

• во-вторых, внешняя нормаль к площадке, на которой оно возникает, направлена в ту же сторону, что и другая соответствующая координатная ось.

Например, все напряжения на рис. 6.3, возникающие по граням элементарного параллелепипеда, показаны положительными. Поскольку, как уже отмечалось, во всех точках элементарного параллелепипедаНСсчитается однородным,одноименные напряжения, возникающие на параллельных гранях элемента численно равны друг другу.

Отметим, что при анализе НС в некоторой точке тела нормальныеи касательныенапряжения, возникающие по граням элементарного параллелепипеда, считаютсязаданными.

6. Как формулируется закон парности касательных напряжений?

Элементарный параллелепипед должен находиться в равновесии. В частности, он не должен вращаться вокруг оси x, проходящей через точкуК (см. рис. 6.3), поэтому суммарный момент всехсил, возникающих по его граням, относительно этой оси должен быть равным нулю:

(6.1)

В формуле (6.1) в скобки заключены соответствующие силы, а их плечи указаны за скобками.

После элементарных упрощений этого выражения, найдем:

. (6.2)

Соотношение (6.2) и называется законом парности касательных напряжений:на любых двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, направленные по перпендикуляру к линии пересечения этих площадок, равны по величине. При этом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.

7. По каким формулам вычисляются нормальные и касательные напряжения на наклонных площадках, проходящих через рассматриваемую точку?

При изучении плоскогоНСмы будем рассматривать только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны граням параллелепипеда, на которых отсутствуют нормальные и касательные напряжения (рис. 6.4).

Наклон площадки будем определять углом , который образует внешняя нормальк этой площадке с осьюz.Угол считается положительным, если он отсчитывается против хода часовой стрелки.

Тогда нормальные и касательные напряжения, возникающие на наклонной площадке, проходящей через точку К, определяются, соответственно, по следующим формулам:

(6.3)

Эти формулы позволяют нам фактически определять напряжения, возникающие на любойплощадке, проходящей через заданную точку. Таким образом,НС в точке тела определено, если нам известны (заданы) напряжения, возникающие на трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через эту точку тела.

Из формул (6.3) видно, что нормальные и касательные напряжения являются непрерывными функциями угла и, следовательно, могут иметьэкстремальныезначения:максимумыиминимумы. Найдем угол наклона площадки, при которомнормальноенапряжениепринимаетэкстремальноезначение. Для этого возьмем следующую производную:

и приравняем ее к нулю. Тогда

. (6.4)

Из формулы (6.4) мы найдем два углаи, которые и определяют положениедвухвзаимно перпендикулярныхплощадок, на которых возникаютэкстремальныев рассматриваемой точкеКнормальныенапряженияи(рис. 6.5).

Необходимоотметить, что всегда направлено в ту сторону, где сходятся касательные напряжения.

Объяснение этого правила следует из рассмотрения рис. 6.6.

Видно, что касательные напряжения «создают» дополнительное удлинение одной из диагоналей (см. также далее вопрос 6.15).

Заметим, что формула (6.4) внешне напоминает формулу (4.8), по которой определяется положение главных центральных осей инерции.