1. Как записывается дифференциальное уравнение изгиба балки?

Для определения уравнения изогнутой оси балки можно воспользоваться законом Гука (7.4):

.

Из курса высшей математики нам известно следующее выражение для кривизны некоторой кривой:

.

В пределах упругих деформаций квадрат угла поворота поперечного сечения балки ничтожно мал по сравнению с единицей. Поэтому , то естьвторая производная от прогиба представляет собой кривизну изогнутой оси балки в рассматриваемом месте.

Тогда

.

Это дифференциальное уравнение описывает изгиб балки в рамках гипотезы Бернулли. Продифференцировав его дважды поz, с учетом третьей формулы (7.1), окончательно получим:

. (7.12)

Уравнение (7.12) называется дифференциальным уравнением изгибабалки.

Интегрируя это уравнение первый раз, получим выражение, дающее закон изменения перерезывающей силы по длине балки. Второе интегрирование определяет характер изменения изгибающего момента, третье интегрирование – углов поворота поперечных сечений, наконец, четвертое – прогибов балки по ее длине.

При этом постоянные интегрирования определяются из условий опирания балки.

2. Как на практике осуществляется вычисление прогибов и углов поворота поперечных сечений балки?

Они могут быть определены, например, с помощью так называемого универсального уравнения упругой линии балки.Мы приведем это уравнение без вывода. Прогиб балки в сечении с координатойzи угол поворота этого же сечения (рис. 7.15) определяются по следующим формулам:

(7.13)

Здесь aи b– абсциссы точек приложения сосредоточенного моментаMи сосредоточенной силыP, соответственно;cиd– координаты начала и конца участка, нагруженного распределенной нагрузкой.

Заметим, что в формулы входят только те внешние усилия (активные и реактивные), которые расположенылевее сечения, в котором определяются перемещения балки.

Если какая-нибудь нагрузка (нагрузки) имеют направление, противоположное тому, что указано на рис. 7.15, то у соответствующего слагаемого (слагаемых) в формулах (7.13) следует поменять знак на противоположный. В случае многократного повторения однотипных нагрузок необходимо использовать суммирование соответствующих слагаемых.

Прогиб и угол поворотабалки в начале координат (начальныепараметры) определяются из условий закрепления балки.

Продемонстрируем использование формул (7.13) на примере балки (см. рис. 7.4). Определим, например, прогиб балки на консоли при м, то есть. Запишем универсальное уравнение упругой линии балки:

Очевидно, что прогиб балки в начале координат (на левой шарнирной опоре), равен нулю. То есть .

Для определения угла поворота в начале координат необходимо составить дополнительное условие:прогиб на правой опоре равен нулю.

Таким образом, будем иметь:

,

отсюда

.

Тогда, окончательно, прогиб консоли равен:

Знак «минус» говорит нам о том, что прогиб балки на консоли происходит вниз. Отметим также, что число, стоящее в числителе измеряется в нашем примере в килоньютонах на метр в кубе (кН·м³).

Примерный вид упругой линии балкипоказан на рис. 7.16.

Упругая линия балки должна быть согласованас эпюрой изгибающих моментов. Напомним, что положительный изгибающий момент «изгибает» балку выпуклостью вниз (сжатые волокна сверху), а отрицательный – выпуклостью вверх (сжатые волокна снизу). Точка перегиба, то есть та точка, в которой кривизна балки равна нулю, находится под тем сечением балки, в котором изгибающий момент равен нулю, что следует из законаГука.