13. Чему равна потенциальная энергия деформации при изгибе?

Потенциальная энергия деформации балки при поперечном изгибе определяется по следующей формуле (подробнее см. беседу 15):

, (7.11)

где первый интеграл представляет собой потенциальную энергию сдвига, а второй – энергиючистого изгиба.

Значение безразмерного коэффициента k, входящего в первое слагаемое выражения (7.11), зависит отформыпоперечного сечения балки и вычисляется по формуле:

.

Например, для прямоугольного поперечного сечения .

Для большинства типов балок первое слагаемое в формуле (7.11) значительно меньше второго слагаемого. Поэтому при определении потенциальной энергии деформации при изгибе влиянием сдвига (первым слагаемым) часто пренебрегают.

14. Какие перемещения возникают при изгибе балки, и с какой целью их определяют?

Для того чтобы судить о работе балок, недостаточно иметь информацию только о напряжениях, которые возникают в ней при деформировании. Весьма прочныебалки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной ихжесткости. Если балка сильно прогибается под нагрузкой, то в ней могут возникнуть изгибные колебания с большими амплитудами, приводящие к дополнительным напряжениям.

Для проверки жесткостибалки необходимо уметь определять перемещения отдельных точек ее оси.

В результате изгиба ось балки становится криволинейной. Изогнутую ось балки принято называтьупругой линией балки. Кривизна упругой линии балки может быть определена из формулы (7.4):

.

Произвольная точка, лежащая на оси балки перемещается в направлении вертикальной оси yи продольной осиz.Вертикальное перемещениебудем обозначать буквойvи называть егопроги^'бомбалки.Продольное перемещениеточки будем обозначать буквойu.

Касательная, проведенная к точке, расположенной на изогнутой оси балки, будет повернута по отношению к прямолинейной оси на некоторый угол . Этот угол, очевидно, равен углу поворотапоперечного сечения балки, проходящего через рассматриваемую точку. Таким образом,три величины u, v и являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения.

Проверка жесткости балки сводится к требованию, согласно которому наибольший ее прогиб , называемыйстрелой прогиба, не должен превышать определенной доли от пролета балкиl:. Здесь числоmустанавливается нормами проектирования и колеблется обычно в пределах от 300 до 1000. Для ответственных сооружений, например, для мостов,. Отсюда видно, что прогибы балки при изгибемалыпо сравнению с ее пролетом. Это позволяет нам в дальнейшем изложении ввести следующие упрощения:

• во-первых, при малыхпрогибахvугол наклона касательной к изогнутой оси балки и, следовательно, угол поворота поперечного сечения балки, можно определять с помощью выражения

;

• во-вторых, горизонтальным перемещением uможно пренебречь, так как оно по сравнению с прогибомvи углом поворота поперечного сечения, является величиной более высокого порядка малости.

В результате мы можем считать, что угол поворота поперечного сечения равен первой производной от прогиба балки, и что каждая точка оси балки перемещается только по вертикали.

Следовательно, для определения полной картины деформации нам необходимо получить уравнение упругой линии балки . Если эта функция известна, то, определив прогибы балки в ряде точек, можно построить кривую прогибов и найти наибольший прогиб, который и позволит нам судить о жесткости балки.

В заключение отметим, что в ряде задач, главным образом статически неопределимых, возникает необходимость и в определении угла поворотапоперечного сечения балки.