8. Как изменяются касательные напряжения по поперечному сечению балки?

Проанализируем формулу Журавского. Для конкретного сечения балки перерезывающая сила имомент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси являютсяпостоянными величинами. Поэтому из формулы (7.8) следует, что по высоте поперечного сечения касательные напряжения изменяются по тому же закону, что и отношение статического момента отсеченной части поперечного сечения кширине поперечного сечения ,в котором они вычисляются.

Во всех точках поперечного сечения, расположенных на расстоянии y от нейтральной оси, то естьпо всей ширине сечения , касательные напряженияодинаковы.

Во всех самых удаленных от нейтральной оси точках поперечного сечения касательные напряжения равны нулю, поскольку в этом случае .

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках поперечного сечения, расположенных на нейтральной оси.Напомним, что в этих точках нормальные напряжения равны нулю.

9. Как выглядят эпюры касательных напряжений для балок прямоугольного и двутаврового поперечных сечений?

Напомним, что при выводе формулы Журавского мы предполагали, что балка имеетпрямоугольноепоперечное сечение (рис. 7.11), поэтому

; ;;, (7.9)

где y – расстояние от точки, в которой определяется касательное напряжение, до нейтральной осиx.

Подставляя выражения (7.9) в формулу (7.8), получим:

.

Отсюда видно, что для балки прямоугольного профиля касательные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения по законуквадратичнойпараболы (см. рис. 7.11).

При , то есть для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси,. Для точек, расположенных на нейтральной оси (при), касательные напряжения достигаютмаксимальногозначения:

.

Характерной особенностьюдвутавровогосечения балки является то обстоятельство, что в том месте, где полка соединяется со стенкой, происходит резкое изменение ширины поперечного сечения(рис. 7.12).

Определим касательное напряжение в некоторой точке K.

Для этого проведем через эту точку сечение. Ширина этого сечения равна толщине стенки, то есть . Рассмотримверхнююотсеченнуючасть площади поперечного сечения, которая состоит из площади полкии площади части стенки(обе эти площади на рисунке заштрихованы). Статический момент этой отсеченной части площади поперечного сечения, относительно нейтральной осиx равен:

.

Эпюра касательных напряжений, возникающих в точках стенки двутавра, имеет вид, показанный на рис. 7.12, б.

Касательные напряжения , возникающие в точках полки двутавра, по формулеЖуравского вычислять нельзя, поскольку при ее выводе использовалось допущение о равномерности распределения касательных напряжений по ширине поперечного сечения, что справедливо только в том случае, если ширина сечения невелика. Однако очевидно, что эти напряжения малы и не оказывают практического влияния на прочность балки. Их эпюра показана штриховой линией (см. рис. 7.12, б).

Касательное напряжение в точке L, то есть в том месте, где полка соединяется со стенкой, вычисляются по формуле:

.

Как и для балки прямоугольного поперечного сечения, наибольшие касательные напряжения в балке двутаврового профиля возникают в точках, лежащих на нейтральной оси x.

10. Как выглядит эпюра касательных напряжений для балки круглого поперечного сечения?

Прежде, чем ответить на этот вопрос, попробуем сначала выяснить, какое вообще направление имеет касательное напряжение, возникающее в некоторой точке контура поперечного сечения стержня.

Рассмотрим поперечное сечение стержня, имеющее совершеннопроизвольную форму(рис. 7.13,а).Предположим, что в некоторой точке К его контура возникает касательное напряжение , направленноепод каким-то углом по отношению к контуру. Разложим это напряжение на две составляющие: – понормали и – покасательной к контуру сечения. Если напряжение действительно существует, топо закону парности касательных напряжений на поверхности стержня должно существовать и равное ему по значению касательное напряжение . Ноповерхность стержня при изгибе не нагружена внешними силами, параллельными оси балки z. Поэтому касательное напряжение на поверхности стержня и, следовательно,.

Таким образом, при изгибе балки касательное напряжение, возникающеев некоторой точке контура поперечного сечения, всегда направлено по касательной к контуру.

Покажем, что в вершине угла прямоугольного поперечного сечения балки касательное напряжение при изгибе равно нулю(рис. 7.13,б).

Предположим, что в вершине угла, в точке M, возникает некоторое касательное напряжение. Разложим его на составляющиеи. Но касательные напряженияна поверхности балкиотсутствуют (). Поэтому по закону парности касательных напряжений должны быть равны нулю и составляющиеи. Следовательно, в точкеM .

С учетом изложенного выше, задача вычисления касательных напряжений в произвольной точке балки круглогопоперечного сечения заметно усложняется. Однако, если сделать предположение о том, что в точках, расположенных на некоторой линииab (рис. 7.14), касательные напряжениянаправлены так, что все они пересекаются в точкеО, и дополнительно предположить, что вертикальные проекции этих напряжений равномерно распределены вдоль линииab, то формулуЖуравскогоможно использовать для вычисления вертикальных проекций. Вычисление всех остальных величин, входящих в формулу (7.8), производится так же, как и, например, для прямоугольного поперечного сечения.

Вчастности, наибольшие касательные напряжения, возникающие в точках, расположенных на нейтральной осиx, вычисляются по формуле:

.

11. Согласно гипотезе Бернулли считается, что при изгибе балки ее продольные волокна не оказывают давления друг на друга. Такое предположение для чистого изгиба вполне естественно. Но насколько это допущение справедливо при поперечном изгибе балки?

Рассмотрим, например, жестко защемленную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную сверху равномерно распределенной поперечной нагрузкой q. Тогда в точках, принадлежащих верхним волокнам балки, возникнут нормальные напряжения:

.

В нижних же волокнах, ввиду отсутствия поверхностной нагрузки, . При существующих на практике значениях внешней нагрузки напряжениенастолько мало по сравнению с наибольшим нормальным напряжением, возникающем в поперечном сечении балки, что им можно пренебречь. Покажем это.

Для рассматриваемой балки наибольший изгибающий момент возникает в заделке. Он равен . В этом случае

.

Тогда . Для реальных балок отношение, поэтому, окончательно, получим:

.