2. Как формулируется гипотеза плоских сечений при изгибе балки?

Мысленно нанесем на боковой поверхности недеформированной балки сетку, состоящую из продольных и поперечных (перпендикулярных к оси балки) прямых линий. В результате изгиба балки мы увидим, что продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии практическиостанутсяпрямымииперпендикулярнымик изогнутой оси балки. Таким образом,поперечные сечения, плоские и перпендикулярные к оси балки до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к изогнутой оси после ее деформации.

Это обстоятельство свидетельствует о том, что при изгибе (как при растяжении и кручении) выполняется гипотеза плоских сечений.

3. Какие допущения принимаются при выводе формулы для нормальных напряжений при чистом изгибе балки и чему они равны?

Помимо упомянутой гипотезы плоских сеченийпринимается ещё одно допущение: считается, чтопродольные волокна балки при ее изгибе не надавливают друг на друга.

Эти два допущения вместе называют гипотезой Бернулли.

Рассмотрим балку прямоугольного поперечного сечения, испытывающую чистый изгиб (). Двумя бесконечно близкими поперечными сечениями выделим элемент балки длиной(рис. 7.8.а). В результате изгиба поперечные сечения балки повернутся, образовав между собой угол . Пусть при этом верхние волокна испытывают сжатие, а нижние – растяжение. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим.

Для удобства далее будем условно считать, что волокна изменяют свою длину, оставаясь при этом прямыми (рис. 7.8. б).

Тогда абсолютное и относительное удлинения волокна, отстоящего на расстоянии yот нейтрального волокна, будут, соответственно, равны:

.

По закону Гука

. (7.2)

Покажем теперь, что продольные волокна, не испытывающие при изгибе балки ни растяжения, ни сжатия, проходят через главную центральную ось x.

Поскольку длина балки (а точнее, длина ее оси) при изгибе не изменяется, продольное усилие N, возникающее в поперечном сечении, должно равняться нулю. Элементарное продольное усилие. Тогда

,

или, с учетом выражения (7.2),

.

Множительможно вынести за знак интеграла, так как он не зависит от переменной интегрирования. В итоге получим

. (7.3)

Выражение (7.3) представляет собой статический моментплощади поперечного сечения балки относительно нейтральной осиx. Он равен нулю только в том случае, когда эта ось проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Следовательно, нейтральная ось (или нулевая линия) при изгибе балки проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Установленный факт, кстати, подчеркивает важность темы, рассмотренной нами выше в беседе 4.

Очевидно, что изгибающий момент связан с нормальными напряжениями, возникающими в точках поперечного сечения стержня. Поэтому перейдем к его вычислению. Элементарный изгибающий момент, создаваемый элементарной силой , равен, тогда

, (7.4)

где – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной осиx, а отношениеназывается кривизной оси балки.

Произведение в полученной формуле называетсяжесткостью поперечного сечения балки при изгибе. Чем больше эта величина, тем меньше кривизна оси балкипри том же значении изгибающего момента.

Формула (7.4) представляет собой закон Гукадлястержняпри изгибе:изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении, пропорционален кривизне оси балки.

Выражая из (7.4) радиус кривизны и подставляя его значение в (7.2), получим, окончательно, следующую формулу для нормальных напряжений , возникающих в произвольной точке поперечного сечения балки, отстоящей на расстоянииy от нейтральной оси x:

. (7.5)

Отметим, что в эту формулу следует подставлять абсолютные значения изгибающего моментаи координатыy. Будет ли напряжение в данной точке растягивающим или сжимающим легко установить по характеру деформации балки или, что то же самое, по эпюре изгибающих моментов,ординаты которой откладываются нами со стороны сжатых волокон балки.

Из формулы (7.5) видно, что нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения балки полинейному закону.

По ширине сечения они считаются постоянными.

На рис. 7.8, впоказанаэпюра нормальных напряжений. Наибольшие напряжения при изгибе балки возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Несложный анализ эпюры нормальных напряжений показывает, при изгибе балки материал, расположенный вблизи нейтральной оси, практически не работает. Поэтому в целях снижения веса балки рекомендуется выбирать такие формы поперечного сечения, у которых большая часть материала удалена от нейтральной оси, как, например, удвутаврового профиля.