3. Что называется формой потери устойчивости стержня?

При потере устойчивости прямолинейная ось стержня искривляется. Конфигурация изогнутой оси стержня называетсяформой потери устойчивости.Форма потери устойчивости зависит от условий закрепления стержня и места приложения сжимающей нагрузки по его длине.

4. Какая нагрузка называется эйлеровой?

В 1744 г. Леонард Эйлер(1707 – 1783 гг.) впервые получил формулу для определениятеоретическойнагрузки, при которой происходит потеря устойчивости стержня. Эту нагрузку, как правило, называютэйлеровой. Она равна:

, (12.1)

где Е– модульЮнга;–минимальныйглавный центральный момент инерции поперечного сечения стержня (очевидно, что при потере устойчивости изгиб стержня произойдет в плоскостинаименьшейизгибной жесткости);– коэффициентприведениядлины, зависящий от формы потери устойчивости (не путайте его с коэффициентом Пуассона); l– длина стержня. Произведениеназываетсяприведенной, илисвободной, длиной стержня.

5. Почему коэффициентназываетсякоэффициентом приведения длины, а произведение –приведенной длиной стержня?

Для шарнирно опертогостержня,сжатого по концам, Эйлеромбыла получена следующая формула

.

В этом случае . Форма потери устойчивости такого стержня представляет собойодну полуволну синусоиды (рис. 12.2,а). И этот случай принято считать основным случаем потери устойчивости.

Некоторые другие способы закрепления концов стержня (нагрузка по-прежнему приложена по его торцам) легко могут бытьприведеныкосновномуслучаю путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня.

Рассмотрим еще два наиболее часто встречающихся случая закрепления концов стержня.

2. Стержень с жестко защемленным одним и совершенно свободным другим концом.При потере устойчивости он изогнется, как показано на (рис. 12.2,б). Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Следовательно, в этом случае, приведенная длина равна(полуволна синусоиды имеет длину), аэйлеровасила в четыре разаменьше, чем дляосновногослучая:

.

3. Оба конца стержня жестко защемлены.В этом случае форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимаетполовинудлины стержня (рис. 12.2,в). Поэтому приведенная длина стержня равна(), аэйлерованагрузка

,

то есть в четыре раза больше, чем дляосновногослучая.

1. Всегда ли справедлива формула Эйлера? Иными словами, всегда ли значение эйлеровой нагрузки совпадает со значением критической нагрузки?

Отметим, что критическойпринято называтьистинную, аэйлеровой –теоретическуюнагрузку, при которой происходит потеря устойчивости стержня.

Формула Эйлера получена при предположении, что в момент потери устойчивости напряжения сжатия в стержне не превышают предела пропорциональности , то есть

. (12.2)

Об этом, в частности, говорит присутствие в формуле (12.1) модуля ЮнгаЕ, который свидетельствует о том, что вплоть до момента потери устойчивости выполнялся законГука.

Поэтому, если потеря устойчивости происходит при напряжении меньшем, чем , то.

Для стержней, теряющих устойчивость при напряжении, превышающем предел пропорциональности , использование формулыЭйлеране только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям, поскольку критическая нагрузка (истиннаянагрузка, при которой происходит потеря устойчивости) меньше эйлеровой:.