9. Косой изгиб

1. Какой изгиб называется косым?

Если мы прикладываем к балке вертикальнуюнагрузку, а она при этом изгибается почему-то не только в вертикальной плоскости, но и вбок, то такой изгиб называетсякосым. Или иными словами,косым называется изгиб, при котором изогнутая ось стержня не лежит в силовой плоскости (плоскости, в которой расположены все внешние нагрузки).

2. При каком нагружении балки происходит косой изгиб?

Косой изгиб возникнет в том случае, если силовая плоскость не будет совпадать ни с одной из главных плоскостей балки. Напомним, что главными являются плоскости, проходящие через ось балки z и главные центральные оси инерции ее поперечного сечения.

Впервые задача о косом изгибе балки была решена в 1843 г. Сен-Венаном.

3. Как вычисляются наибольшие нормальные напряжения при косом изгибе?

Покажем это на конкретном примере. Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения длиной l, нагруженную вертикальной силойP(рис. 9.1). Пусть балка расположена по отношению к нагрузке таким образом, что ее главная центральная осьy(ось симметрии) составляет некоторый малый уголс направлением действия нагрузки. Пусть такойперекособусловлен, например, технологическим браком при сборке конструкции.

Разложим силуPна две составляющие:

.

Воспользуемся принципом независимости действия сил и рассмотрим действие каждой из этих составляющих в отдельности.

Нагрузки ивызывают в поперечном сечении, расположенном на некотором расстоянииzот правого конца балки, изгибающие моменты,абсолютныезначения которых определяются по формулам:

Оба изгибающих момента будут наибольшими в заделке:

.

Суммарныенормальные напряжения при косом изгибе впроизвольномпоперечном сечении балки длянекоторойточки с координатамиx иyвычисляются по следующей формуле:

, (9.1)

где – главные моменты инерции;h– высота, аb– ширина поперечного сечения балки.

Значения изгибающих моментов и координат исследуемой точки подставляются в формулу (9.1) по абсолютномузначению, а знак каждого из слагаемых определяется в целом, по физическому смыслу.

Наибольшие нормальные напряжения возникнут в поперечном сечении, расположенном в заделке, в точках 1 и2, которые наиболее удалены от соответствующих нейтральных осей и имеют следующиеабсолютныезначения координат:.

При этом, очевидно, что в точке 1напряжения будут растягивающими:

, (9.2)

а в точке 2 – точно такими же по величине, но сжимающими:

. (9.3)

В формулах (9.2) и (9.3) – моменты сопротивления балки при изгибе относительно главных центральных осей инерции.

4. Как определяется положение нулевой (или нейтральной) линии при косом изгибе?

Напомним, что нулевой линией (НЛ) называется геометрическое место точек поперечного сечения стержня, в которых нормальные напряжения равны нулю. Из этого определения легко и определяется положение НЛ. Приравнивая правую часть выражения (9.1) к нулю, получим:

,

отсюда

. (9.4)

Обозначим через угол наклонаНЛ к оси x. Тогда , и уравнениеНЛ (9.4) принимает следующий вид:

. (9.5)

Из уравнения (9.5) видно, что в общем случае (когда)НЛ при косом изгибе не проходит перпендикулярно к силовой линии (рис. 9.2), поскольку Лишь в частном случае, когда значения главных центральных моментов инерции равны между собой (), угол междуНЛ и силовой линией будет прямым (), и это означает, что изгиб будетпрямым.

Заметим, что для балок с поперечным сечением типа квадрат, круг и т. п., у которых все центральные оси являются главными, косой изгиб невозможен.