2. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

Пределы ее применимости можно легко установить, предварительно введя понятие гибкости стержня, предложенное Феликсом Станиславовичем Ясинским (1856 – 1899 гг.).

Определим эйлеровынапряжения, исходя из формулыЭйлера(12.1):

.

Здесь – геометрическая характеристика поперечного сечения, называемая минимальнымрадиусоминерции, которая измеряется (см. беседу 4) в сантиметрах;– безразмерная геометрическая характеристика, называемаягибкостьюсжатого стержня.

С учетом формулы (12.2), находим, что

.

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим и назовемпредельной гибкостью. Тогда

.

В отличие от гибкости стержня, представляющей собой его геометрическую характеристику, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от его размеров.

Предельная гибкость – постоянная для данного материала величина.Например, для стали Ст. 3.

Используя понятие предельной гибкости, пределы применимости формулы Эйлера, можно представить в виде:

.

Таким образом, формула Эйлера дает истинное значение нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости стержня, только в том случае, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

3. По какой формуле определяется критическая нагрузка для стержней малой и средней гибкости (при )?

В случае, когда формула Эйлеранеприменима,критическаянагрузка определяется поэмпирическойформуле, предложеннойЯсинским, на основе опытов, проведенных рядом исследователей. Она имеет вид:

,

где аиb– коэффициенты, зависящие от свойств материала и измеряющиеся в единицах напряжения.

Для очень коротких стержней (при некоторой гибкости, обозначаемой ) критическое напряжение, то есть напряжение, при котором происходит потеря устойчивости стержня, может оказаться равнымпредельномунапряжению при сжатии: пределу текучести для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких. Тогда, при

для пластичных материалов

,

а для хрупких

.

4. Как осуществляется расчет центрально сжатого стержня на устойчивость и что такое коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба)?

При назначении размеров длинного сжатого стержня, в первую очередь, приходится заботиться о том, чтобы он в процессе эксплуатации не потерял устойчивость прямолинейной формы равновесия. Поэтому напряжения в сжатом стержне не должны превышать критических напряжений:

. (12.3)

Исследования показали, что незначительные местные ослабления стержня (например, заклепочные отверстия) не оказывают существенного влияния на значение критической нагрузки, поэтому в формуле (12.3) берется вся площадь поперечного сечения (площадь брутто).

Условие прочности при сжатии, как известно, имеет вид:

.

Расчет сжатого стержня на устойчивость можно по форме привести к расчету на простое сжатие. Однако при этом необходимо учесть, что длинный стержень (стержень большой гибкости) может потерять устойчивость, то есть исчерпает несущую способность, при меньшем напряжении, чем допускаемое напряжение. Поэтому условие устойчивости сжатого стержня можно представить в виде:

, (12.4)

где – коэффициент, называемыйкоэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения иликоэффициентом продольного изгиба. Очевидно, что этот коэффициент зависит от материала стержня и от его гибкостии изменяется в пределах от 0 (при) до 1 (при).

Этот метод расчета очень удобен в том смысле, что он не связан с пределами применимости формулы Эйлераи может быть использован практически при всех значениях гибкости.

Заметим, что проектировочный расчет по формуле (12.4), связанный с подбором размеров поперечного сечения стержня

, (12.5)

приходится осуществлять методом последовательных приближений. Это обусловлено тем, что площадь поперечного сечения стержня внеявномвиде входит и в правую часть выражения (12.5), поскольку коэффициент продольного изгибазависит от гибкости стержня, а последняя, в свою очередь, от радиуса инерции.