Чему равны главные моменты инерции простейших фигур: прямоугольника и круга?
Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.4, а) оси x и y являются главными центральными осями, поскольку они проходят через центр тяжести фигуры и являются осями симметрии.
Главные моменты инерции прямоугольника равны:
Необходимо запомнить, что размер стороны, параллельной рассматриваемой оси, входит в выражение для главного момента инерции прямоугольника в первой степени, а размер стороны перпендикулярной к оси – в третьей степени.
Д
ля
круглого поперечного сечениялюбые
две взаимно перпендикулярные оси,
проходящие через центр тяжести фигуры,
являются главными центральными осями
(рис. 4.4, б).
Очевидно также, что для круга
.
Еслиd
– диаметр
круга, то
.
Что называется радиусом инерции?
Момент инерции фигуры относительно какой-либо координатной оси может быть представлен в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции:
Таким образом, мы ввели в рассмотрение еще две геометрические характеристики:
которые называются радиусами инерции поперечного сечения относительно осей x и y, соответственно.
Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции, определяемые по следующим формулам:
Например, для прямоугольника (см. рис. 4.4, а), главные радиусы инерции равны:
А для круглого поперечного сечения:
.
И все же, зачем нам нужно знать положение главных центральных осей, а также значения главных центральных моментов инерции поперечного сечения стержня?
Их определение, как это не покажется неожиданным, напрямую связано именно с обеспечением прочности, жесткости и устойчивости стержня (то есть, с теми основными вопросами, которые и изучаются в сопротивлении материалов), но при более сложных, чем растяжение и сдвиг, видах деформации.
Подробнее об этом мы будем говорить в наших следующих беседах, а сейчас все-таки попытаемся ответить, хотя бы в общих чертах, на поставленный вопрос. Рассмотрим следующий, надеюсь, простой пример. Предположим, что нам необходимо заделать одним концом в стену обычную металлическую линейку, поперечное сечение которой представляет собой прямоугольник, у которого один размер h много больше другого b. Пусть к этой линейке на консоли будет приложена вертикальная сила P. Как нам следует расположить линейку по отношению к этой внешней нагрузке, чтобы напряжения в ней и прогиб консоли были минимальные? Ответ на этот вопрос очевиден – «ребром». То есть, таким образом, чтобы линия действия силы совпадала с осью min поперечного сечения линейки.
Однако не попытается ли линейка с ростом нагрузки «выскользнуть из под нее»? Проведя несложный эксперимент, можно действительно убедиться в том, что при некотором значении нагрузки, которая называется критической, линейка внезапно изогнется вбок и одновременно закрутится. Это явление называется потерей устойчивости плоской формы изгиба. Следовательно, если заданная внешняя сила превышает критическую нагрузку, то линейку следует расположить «плашмя», то есть так, чтобы линия действия силы P совпадала с осью max поперечного сечения.
А как расположить под вертикальной сосредоточенной силой стержень, поперечное сечение которого представляет собой, например, швеллер с приваренным к его полке неравнобоким уголком? Ответ на этот вопрос следующий: и в этом случае, с точки зрения прочности и жесткости, стержень нужно расположить так, чтобы линия действия нагрузки совпадала именно с осью min его поперечного сечения.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бернулли Я. 17, 21, 22, 23
Бельтрами Э.
Бетти Э.
Бресс Ж.
Велер А.
Галилей Г. 4
Гельвеций К. 3
Гиллель 3
Губер М.
Гук Р. 4, 8, 18, 19, 29,27, 31
Д’Аламбер
Журавский Д.И.
Кастильяно К.
Клапейрон Б.
Коши О. 12
Крылов А.Н.
Кулон Ш.
Лагранж Ж.
Людерс В. 22
Максвелл Дж.
Мариотт Э. 18
Мизес Р.
Монтень М. 3
Мор О.
Навье К.
Ньютон И.
Перси Н. 36
Понселе Ж.
Пуассон С. 18, 31
Сен-Венан А. 17
Титов П.И.
Треска А.
Чернов Д.К. 22
Шведлер И.
Эйлер Л.
Юнг Т. 18, 19, 31
Ясинский Ф.С.
Предметный указатель
Анизотропный материал 7
Базовое число циклов
Балка 13,
– защемленная
– консольная
– простая
– шарнирно опертая
– статически неопределимая
Брус 13
Вал 13
Взаимность перемещений
– работ
Виды циклов
Внецентренное сжатие
Внутренние силовые факторы 9, 13
– силы (усилия) 4, 5, 9, 10, 11, 14, 20, 30
Возможная работа
Выносливость
Геометрические характеристики 24, 39
Гибкость стержня
Гипотеза Бернулли 16
Гипотеза плоских сечений 16, 17
Гипотеза прочности
– – первая
– – вторая
– – третья
– – четвертая
– – Мора
Главная плоскость
Главные напряжения
Главные оси
Главные площадки
Главные центральные моменты инерции
– – оси инерции
Двутавр
Депланация
Деформация изгиба
– кручения
– линейная
– остаточная
– пластическая
– поперечная
– продольная
– растяжения (сжатия)
– сдвига
– угловая
– упругая
Диаграмма истинная
– предельных амплитуд
– растяжения
– сжатия
Динамическая нагрузка
Дифференциальное уравнение изогнутой оси
Допускаемое напряжение
Единичная сила
– единичный момент
Жесткость
– при изгибе
– при кручении
– при растяжении (сжатии)
Заданная система
Задача статически неопределимая
Закон Гука
– парности касательных напряжений
Изгиб
– косой
– плоский
– прямой
– с кручением
– чистый
Изотропность
Интеграл Мора
Интенсивность распределенной нагрузки
Испытание на растяжение
– на сжатие
– на срез
– на выносливость
Касательные напряжения
– при изгибе
– косом изгибе
– кручении
– сдвиге
Колонна
Консоль
Концентратор напряжений
Концентрация напряжений
Коэффициент асимметрии цикла
– динамичности
– запаса прочности
– приведения длины
– Пуассона
Кривая Велера
Кривая усталости
Кривизна изогнутой оси балки
Критическая нагрузка
Критическое напряжение
Кручение
Линейное напряженное состояние
Линии Чернова–Людерса
Масштабный фактор
Материал анизотропный
– изотропный
– однородный
– пластичный
– сплошной
– упругий
– хрупкий
Метод Мора
– сечений
Модуль Юнга
– сдвига
Момент изгибающий
– единичный
– инерции
– – осевой
– – полярный
– – центробежный
– крутящий
– сопротивления при кручении
– сопротивления при изгибе
Нагрузка 6
– активная
– динамическая
– поверхностная
– повторно-переменная
– разрушающая
– распределенная
– расчетная
– реактивная
– статическая
Напряжение
– главное
– динамическое
– допускаемое
– касательное
– местное
– нормальное
– опасное
– полное
– предельное
– расчетное
– статическое
– эквивалентное
– экстремальное
Напряжения при внецентренном сжатии
– – изгибе с кручением
– – кручении
– – косом изгибе
– – прямом изгибе
– – растяжении (сжатии)
– – сдвиге
– на наклонных площадках
Напряженное состояние в точке тела
– – линейное (одноосное)
– – однородное
– – плоское (двухосное)
– – объемное (трехосное)
Независимость действия сил
Нейтральная ось
Нейтральный слой
Нулевая линия
Объемное напряженное состояние
Оболочка
Однородность
Опорные реакции
Опоры стержней
Основная система
Остаточная деформация
Ось стержня
– главная
– центральная
Относительная деформация
– поперечная деформация
Относительное удлинение
– сужение при разрыве
– – при разрыве
Относительный сдвиг
Парность касательных напряжений
Перемещения
– обобщенные
– при изгибе
– – косом изгибе
– – растяжении (сжатии)
Переносный момент инерции
Перерезывающая сила
Пластина
Пластичность
Пластическая деформация
Плита
Плоское напряженное состояние
Плоскость главная
– силовая
Площадка главная
– текучести
Погонная нагрузка
Податливость
Подбор сечения
Поперечная сила
Потенциальная энергия
Предел выносливости
– пропорциональности
– прочности
– текучести
Предельная гибкость
– нагрузка
Предельное напряжение
Предельное состояние
Пределы применимости формулы Эйлера
Приведенная длина
Принцип возможных перемещений
– Д’Аламбера
– начальных размеров
– независимости действия сил (суперпозиции)
– Сен-Венана
Проверка прочности
Проверочный расчет
Проектировочный расчет
Прогиб балки
– динамический
– при косом изгибе
Продольная сила
Профиль балки
Прочность
Работа внешних сил
– внутренних сил
– возможная
Равновесие безразличное
– неустойчивое
– устойчивое
Радиус инерции
– кривизны
Разрушение материала
– – усталостное
– – хрупкое
Растяжение всестороннее
Расчет на выносливость
– – жесткость при кручении
– – – – прямом изгибе
– – – – растяжении (сжатии)
– – прочность при внецентренном сжатии
– – – косом изгибе
– – – кручении
– – – изгибе с кручением
– – – прямом изгибе
– – – сдвиге
– – – растяжении (сжатии)
– – устойчивость сжатых стержней
– по допускаемым напряжениям
Расчетная схема
Реакции опор (связей)
Связи
Сдвиг
– абсолютный
– относительный
– чистый
Сечение наклонное
– опасное
– поперечное
– продольное
Сжатие внецентренное
– всестороннее
– осевое
Сила внешняя
– внутренняя
– инерции
– критическая
– обобщенная
– объемная
– перерезывающая
– поверхностная
– поперечная
– продольная
– сосредоточенная
– упругости
Система заданная
– сил
– основная
– статически неопределимая
– статически определимая
Слой нейтральный
Совместность деформаций
Сопротивление материалов
– усталости
Сплошность
Срез
Сталь
Статический момент площади фигуры
Степень статической неопределимости
Стержень
– призматический
Стойка
Стрела прогиба
Текучесть
Теорема Бетти
– Клапейрона
– Кастильяно
– Лагранжа
Трещина
Угол закручивания
– – относительный
– поворота поперечного сечения при кручении
– – – – изгибе
– сдвига
Удар
Удлинение абсолютное
– относительное
– остаточное
Упругость
Уравнение изогнутой оси балки
– перемещений
Усилия внутренние
Условие прочности при внецентренном сжатии
– – – изгибе
– – – – с кручением
– – – косом изгибе
– – – кручении
– – – растяжении (сжатии)
– – – сдвиге
– устойчивости
Условия закрепления
Усталость
Устойчивость
Факторы, влияющие на выносливость
Формула Журавского
– Эйлера
– Ясинского
Формулы Шведлера-Журавского
Характеристики механические
– пластичности
– прочностные
– циклов
Хрупкий материал
Центральные оси
Центробежный момент инерции
Центр тяжести поперечного сечения
Цикл напряжений
– – асимметричный
– – знакопеременный
– – знакопостоянный
– – симметричный
– – отнулевой
Чистый изгиб
– сдвиг
Число оборотов
Чугун
Шейка (сужение)
Шарнирно неподвижная опора
– подвижная опора
Эксцентриситет
Энергия потенциальная
Эпюра моментов изгибающих
– – крутящих
– напряжений касательных
– – нормальных
– сил перерезывающих (поперечных)
– – продольных
Ядро сечения