5. Какие моменты инерции называются собственными?

Осевые и центробежный моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести поперечного сечения стержня, иногда называются собственными моментами инерции.

6. По какой формуле вычисляются моменты инерции фигуры относительно оси, параллельной центральной? Какие моменты инерции называются переносными?

Пусть две взаимно перпендикулярные оси x и y проходят через центр тяжести C поперечного сечения стержня. Проведем другие оси координат и, параллельные осямx и y. Обозначим a и b координаты центра тяжести С в новых осях и(рис. 4.3,а).

Тогда осевые и центробежный моменты инерции фигуры относительно новых осейибудут определяться по следующим формулам:

. (4.6)

Первые слагаемые в этих формулах ранее нами были названы собственными моментами инерции. Вторые (подчеркнутые) слагаемые в формуле (4.6) называются переносными моментами инерции.

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять в формулы (4.6) с учетом их знаков, что является крайне важным для третьей из этих формул.

7. Как изменяются собственные моменты инерции при повороте координатных осей?

Пусть нам известны собственные моменты инерции ,иотносительно двух взаимно перпендикулярных осейx и y, проходящих через центр тяжести C поперечного сечения стержня. Проведем через точку C другие оси и, повернутые относительно осейx и y на угол (рис. 4.3,б). Будем считать этот угол положительным, если поворот осей происходит против хода часовой стрелки.

Тогда моменты инерции поперечного сечения относительно новых осей определяются по формулам:

;

; (4.7)

.

Из формул (4.7) видно, что

,

то есть сумма собственных осевых моментов инерции является величиной постоянной (она не изменяется при повороте координатных осей).

Как уже отмечалось выше, две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными центральными осями инерции. Тогда при из третьей формулы (4.7) после несложных преобразований можно определить направления этих осей:

. (4.8)

Из полученного выражения (4.8) мы найдем два значения угла , которые отличаются друг от друга на угол. Они и определяют положение двух главных центральных осей.

8. Какие собственные осевые моменты инерции называются главными моментами инерции?

При повороте центральных осей и приближении их к главным центральным осям, больший из собственных осевых моментов инерции становится еще больше, стремясь к своему максимальному значению ,а меньший – еще меньше, приближаясь к минимальному значению .

Моменты инерции фигуры относительно главных центральных осей и называютсяглавными центральными моментами инерции. Они могут быть вычислены по следующим формулам:

(4.9)

Отметим важное свойство, вытекающее из этих формул. Если в частном случае , то осевые моменты инерцииитоже равны между собой и при повороте осей вообще не изменяются. Тогда любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения, являются главными центральными осями.

9. Как для сложной фигуры определить, какая из главных центральных осей является осью max, то есть той осью, относительно которой момент инерции принимает наибольшее значение ?

По определению осевой момент инерции равен интегралу произведений элементарных площадок на квадрат их расстояний до соответствующей оси. Поэтому, чем больше площадки удалены от оси и чем больше таких площадок, тем больше и осевой момент инерции.