23. Какие системы называются статически неопределимыми?

Системы, для которых не удается определить все опорные реакции из уравнений статики, называются статически неопределимыми.

Рассмотрим, например, нагруженный стержень, заделанный обоими концами (рис. 2.6, а). В заделках возникают две реакции, направленные вдоль оси стержня: и. Для их определения мы имеем только одно уравнение статики:

. (2.10)

Назовем эту расчетную схему заданной системой. Сокращенно – ЗС.

Для раскрытия статической неопределимости необходимо записать дополнительное уравнение. Это уравнение связано с деформацией ЗС и называется уравнением перемещений.

Поступим следующим образом. Отбросим, например, нижнюю заделку и действие отброшенной связи на стержень заменим некоторой реактивной силой, которую мы в дальнейшем будем рассматривать как активную силу (рис. 2.6,б). Полученный таким образом стержень назовем основной системой (сокращенно – ОС). Это название происходит от слова «основа» для дальнейшего расчета. Полученный стержень уже является статически определимым. Он заделан одним концом и нагружен двумя активными силами P и . Правда, значение силымы пока не знаем.

Очевидно, что удлинение ЗС равно нулю, то есть . Поэтому неизвестную нам силумы можем найти из условия, что и удлинениеОС тоже равно нулю:

.

Это уравнение и является тем самым дополнительным уравнением (уравнением перемещений), которое свидетельствует о том, что заданная и основная системы деформируются одинаково.

Используя принцип суперпозиции, запишем удлинение ОС в виде:

.

Отсюда легко находим, что

.

Таким образом, статическая неопределимость раскрыта. Вновь вернемся к ЗС. Из уравнения (2.10) находим вторую опорную реакцию:

.

Теперь мы можем перейти к построению эпюры продольных сил, определению напряжений и деформаций в стержне, оценке его прочности и жесткости.

24. Возникают ли в стержне напряжения при его нагреве или охлаждении?

Если при нагреве (охлаждении) стержня ничто не препятствует изменению его длины, то никаких напряжений в нем не возникает.

При нагреве линейные размеры тела увеличиваются, а при охлаждении – уменьшаются. Абсолютное удлинение стержня, вызванное изменением его температуры на градусов Цельсия, определяется по формуле

,

где – коэффициент линейного расширения материала стержня, аl – его длина.

Иная картина имеет место для статически неопределимого стержня.

Предположим, что мы нагреваем стержень, жестко защемленный по концам (см., например, рис. 2.6, а()). Стержень хотел быудлинитьсяна величину, но этому препятствуют заделки. В них возникают реактивные силы, которые, в итоге, приводят ксжатиюстержня.

Таким образом, при нагреве (охлаждении) статически неопределимого стержня в нем всегдавозникают напряжения, которые принято называтьтемпературными напряжениями.

Определим температурные напряжения в рассмотренном нами случае.Отбросим мысленно нижнюю заделку и действие отброшенной связи на стержень заменим реактивной силой (см. рис. 2.6, б ()). Удлинение стержня , равное нулю, может быть представлено в виде

.

Отсюда

.

Тогда температурные напряжения в стержне равны

.