Краткое обобщение теорем
малые
Эквивалентные бесконечно малые
Примеры на применение эквивалентных б.М.
-
Сравнить функции
а)
б)
и 
,
т.е.
бесконечно малое высшего порядка по
сравнению с 
-
Сравним функции :
при 
, то учитываем, что 
при 
3. Выделим главную часть функции
при 
, 
а) при малых x поведение функции f(x) определяет слагаемое, стоящее в низшей степени. Вынесем за скобки x .
выражение в скобках ⟶3
при x⟶0
, следовательно 
, тогда 
при x⟶0
(читается: 3х + бесконечно малая от 3х)
-
главная часть функции f(x)
– б.м. более высокого порядка, чем 
б) 
, 
Следовательно функция 
есть б.м. в точке 
Многочлен 
делится на 
. Получаем:
При 
То 
т.е
– б.м. более высокого порядка чем 
4. Выделим главную
часть функции 
при 
Используем
эквивалентное соотношение 
т.к. 
при 
т.е. 
5. Выделим главную
часть функции 
при 
т.к выражение,
стоящее под знаком логарифма 
при 
, то 
,
Отсюда:
6. Выдели главную
часть функции 
,
при 
при
наибольшая степень 
7. Выделим главную часть
, 
,
8. 
, 
,
Функция является
б.м. при 
.
Найдем главную часть этих функций
, 
При 
и 
Преобразуем: 
В сумме заменить б.м. на эквивалентные нельзя, поэтому перепишем:
14).
Рассмотрим случаи
неопределенности
.
15).
Тогда, при 
Рассмотрим отношение бесконечно больших величин:
16).
17).
18).
Применение эквивалентных бесконечно-малых для нахождения пределов (примеры из Кузнецова):
19).
20).
21).
Разобьем вторую скобку на два сомножителя:
1)
