Сравнение бесконечно малых величин
Отношение двух бесконечно малых величин может быть величиной, стремящейся к :
-
к конечному, отличному от 0 пределу;
-
величиной бесконечно малой;
-
величиной бесконечно большой;
-
не стремящейся ни к какому пределу.
Если предел
отношения бесконечно малых
и
отличен от нуля:
= q
0,
то
и
называются бесконечно малыми одного
порядка малости.
Например,
,
,
при x
0,
и
0;
=
=
=
.
Т.о.
и
при x
0 бесконечно малыми одного порядка
малости.
2. Если предел
отношения бесконечно малых
и
равен нулю:
=
q
= 0,
то
называется бесконечно малой более
высокого порядка, чем
.
Пример:
,
при x
0,
и
0, т.е. обе величины бесконечно малые.
Найдем
=
=
= 0 * 1 = 0,
т.е.
- бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
3. Если отношение
двух бесконечно малых
и
будут величиной бесконечно большой
=
,
то
называется бесконечно малой более
низкого порядка, чем
.
Пример.
,
при x
0,
будет
бесконечно малой более низкого порядка,
чем
. Покажем сначала, что
бесконечно малая величина
=
=
=
=
0.
Найдем теперь отношение
=
=
=
*1*1=
,
т.е. при x
0
есть б.м. более низкого порядка, чем х2.
4. Если предел
и
не существует (ни конечный, ни бесконечный),
то
и
называются несравнимыми б.м.
Пример.
,
при x
0,
-
величина б.м., как произведение б.м. на
ограниченную (см. ниже)
/
/
- ограниченная бесконечно малая
0 величина
бесконечно малая. /
Найдем предел
отношения
к
.
=
=
- нет предела.
При x
0 функция
не стремится ни к какому пределу,
колеблется между (-1) и (+1) и бесчисленное
множество раз принимает все промежуточные
значения.
5. Вернемся к случаю
к случаю 1). Особо надо отметить частный
случай бесконечно малых одного порядка,
когда предел отношения
к
равен 1, т.е. q
= 1.
=
1.
В этом случае бесконечно малые называются эквивалентными.
Равносильные (или эквивалентные) бесконечно малые имеют важное значение в теории и приложениях мат. анализа. Они обладают рядом важных свойств, описываемых следующими теоремами.
Теорема 1.
Две бесконечно малые
и
равносильные порознь третьей бесконечно
малой
,
равносильны между собой.
Док-во: Найдем
предел отношения
к
.
=
=
=
1*1 = 1, т.е.
~
.
Теорема доказана.
Пример: Мы знаем,
что
= 1, т.е.
~ x
при
x
0.
= 1,
т.е.
~ х
при x
0.
Теорема 2.
Разность
-
двух эквивалентных бесконечно малых
является бесконечно малой более высокого
порядка, чем каждая из них.
Док-во: Покажем, что предел отношения этих величин равен 0.
=
=
= 1 – 1 = 0.
Следовательно,
-
есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
Аналогично, можно показать, что
-
есть бесконечно малая более высокого
порядка, чем
.
Так, например, при
x
0, разности
,
,
являются бесконечно малыми более
высокого порядка, чем х,
т.к. x
~ sin
x
~ tg
x
(по условию теоремы
и
должны быть эквивалентными).
Теорема 3.
Если разность
-
двух бесконечно малых есть бесконечно
малая высшего порядка по сравнению с
одной из них, то такие бесконечно малые
- эквивалентны.
Док-во: Пусть, например, дано, что
=
0 (т.е.
-
- бесконечно малая высшего порядка, чем
).
Но
, следовательно
= 0,
т.е.
,
следовательно,
~
.
Аналогично,
= 0,
= 0,
,
т.е.
~
.
Теорема 4. Предел отношения двух бесконечно малых сохраняет свое значение при замене этих бесконечно малых им равносильными.
Док-во: Пусть
;
;
.
Докажем, что
.
Запишем очевидное
равенство:
,
тогда
= с * 1 *1 = с.
Пример:
=
=
.
(Заменяем бесконечно малые sin
5x,
tg3x
на эквивалентные 5х
, 3х
).
Теорема 5. Сумма бесконечно малых разного порядка равносильна слагаемому низкого порядка.
Док-во: Пусть,
например, слагаемое
является бесконечно малой низшего
порядка по сравнению с бесконечно малыми
в
составе суммы
S
=
,
т.е
=
= … =
= 0. Докажем, что S
~
.
=
=
= 1, т.е. S
~
.
Пример:
По теореме 5 числителю будет равносильна бесконечно малая 10 х, а равносильная знаменателю будет величина 2 tg x или 2 х, поскольку 2tg x ~ 2x при x 0.
Слагаемые 3 sin22
x
и
- высшего порядка по сравнению с 10 х,
а 4 х3
и sin4x
– высшего порядка по сравнению с 2 tg
x.
Тогда имеем
=
= 5.
Бесконечно малую
называют бесконечно малой порядка k
(k
> 0) если существует конечный, отличный
от нуля предел
=
.