Часть 1.

б)

По заданным узловым значениям исходной функции осуществим интерполяцию с помощью интерполяционного полинома Ньютона (вид записи - интерполяция вперед).

Интерполяционный полином Ньютона строим по формуле:

Разделенными разностями первого порядка, составленными по соседним узлам, называют отношения:

По ним можно определить разделенные разности второго порядка:

Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка. Например, если известны разделенные разности -го порядка, то разделенная разность-го порядка определяется как:

.

Вычисления производим в MathCAD:

Построим в MathCADв одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции.

Блок-схема алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Ньютона (вперед) в любом значении аргументапри условии произвольного количества узловых значений исходной функции:

Часть 2.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) запишем СЛАУ для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов.

Известно, что при кубическом сплайне между парой соседних узлов интерполяции имеем кубический многочлен вида:

Для определения коэффициентов ,,,на всехотрезках записывают и решаютлинейных уравнений из условия непрерывности функции:

непрерывности первых и вторых производных в узлах интерполяции

и условия свободного закрепления концов

В нашем случае имеем:

Решаем эту систему в MathCADвычислительным блокомGiven…find:

Получаем:

Запишем функцию , реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функцииосуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна:

Построим в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции:

Часть 3.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов определим коэффициенты аппроксимирующего обобщенного многочлена: , где- система базисных функций.

Согласно метода наименьших квадратов коэффициенты определяются из условия:

. (1)

При поиске минимального значения необходимое и достаточное условие

(2)

дает систему из линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных. Запишем систему (2) и решим ее вMathCADвычислительным блокомGiven…find.

Экстремальная задача примет вид:

.

Параметры искомой зависимости находятся из системы:

Отобразим в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий обобщенный многочлен и узловые значения исходной функции

Величина для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена:

Часть 4.

а)

Реализуем в MathCADпо рассчитанным узловым значениям (векторыи) кусочно-линейную интерполяцию (функцияlinterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функцииlspline, pspline, cspline, interp). Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию, узловые значения (векторыи) и четыре полученные интерполяционные функции.

б)

По узловым значениям (векторы и) реализуем вMathCADВ-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (), выбрав самостоятельно векторы точек сшивок. В одном графическом шаблоне отобразим исходную функцию , узловые значения (векторыи), три интерполяционные функцииВ-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.

Графики:

в)

По узловым значениям (векторы и) реализуем вMathCADлинейную аппроксимацию (функцииline, medfit), полиномиальную аппроксимацию (функцииregress(степени аппроксимирующих полиномовr= 1, 4, 7) иloess(параметрspanвыбрать самостоятельно)), аппроксимацию функцией видаpwfit.

Для всех аппроксимирующих функций рассчитаем величину среднеквадратичного отклонения ().

Отобразим в одном графическом шаблоне исходную функцию , узловые значения (векторы и) и полученные аппроксимирующие функции.

Задача 4. Численное интегрирование функций

 

В MathCADвычислить интегралметодом Трапецийпри заданном количествеNразбиений интервала интегрирования(шаг интегрирования) и оценить погрешность применения данной составной квадратурной формулы для вычисления интеграла.

Для вычисления интеграла по указанному методу написать функцию пользователя, в которой входным параметром является количество Nразбиений интервала интегрирования. Отобразить функциии(в соответствии с применяемыми методами) на интервале. По оценке погрешности составной квадратурной формулы интегрирования указанным методом рассчитать количество требуемых интервалов разбиения для вычисления интеграла с заданной точностью. Вычислить интеграл с этой точностью.

Решение.

Разбиение интервала задается следующим образом:

.

Для вычисления интеграла методом Трапеций воспользуемся формулой:

Составим в MathCADфункцию пользователя и вычислим интеграл при разных количествах разбиений:

В методе трапеций в соответствии с оценкой остаточного члена формулы для вычисления интеграла – оценка погрешности:

, где.

Вычисляем максимальное значение модуля второй производной на данном отрезке:

Оценки погрешности для каждого :

Строим графики функций и:

Находим необходимое количество интервалов для достижения заданной точности и вычисляем интеграл: