Вариант 53.

Задача 1. Элементы теории погрешностей.

д)найти сумму (разность) приближенных чисел и указать ее погрешности (и), если считать в исходных данных все значащие цифры верными;

Решение.

Пусть:

Для заданных чисел примем абсолютную погрешность в «широком» смысле (т. е. берем единицу последнего разряда числа):

.

Относительная погрешность:

Ответ: .

Задача 2.Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

а)Найти решение СЛАУ, гдеA- матрица коэффициентов,B- вектор свободных членов,X- вектор неизвестных,методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Заданы матрицаAи векторB. При поиске решения (вMathCAD) показать все промежуточные вычисления в прямом и обратном ходе указанных прямых методов. Полученное (приближенное) решение сравнить с решением этой СЛАУ вMathCADвычислительным блокомGiven…find(расчет провести в численном виде). Зарисовать блок-схему алгоритма указанного в варианте метода решения СЛАУ при условии произвольного количества уравнений (задаются матрицаAи векторB).

Решение.

Решение СЛАУ в MathCADс помощью блокаGiven..Find:

Блок-схема алгоритма – решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу:

- функция, с помощью которой выбираем главный элемент по столбцу и меняем строки:

- шаг прямого хода метода Гаусса () и обратный ход метода Гаусса ():

- главная программа:

Решение СЛАУ методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу в Mathcad:

Применяя пользовательские функции, получаем:

Задача 3. Приближение функций

 

Часть 1.

б) По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) осуществить интерполяцию с помощью интерполяционного полинома Ньютона(вид записи - интерполяция вперед). Построить вMathCADв одном графическом шаблоне полученный интерполяционный полином и узловые значения исходной функции. Зарисовать блок-схему алгоритма, реализующего вычисление значения интерполяционного полинома Ньютона (вперед) в любом значении аргументахпри условии произвольного количества узловых значений исходной функции.

Часть 2.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) записать систему линейных алгебраических уравнений для расчета коэффициентов кубического сплайна со свободным закреплением концов. Решить полученную систему вMathCADвычислительным блокомGiven…find, записать функцию, реализующую рассчитанный кубический сплайн, считая, что за границами рассматриваемого диапазона изменения аргумента изменение функцииосуществляется соответственно по начальному и конечному частям сплайна. Построить в одном графическом шаблоне рассчитанный кубический сплайн и узловые значения исходной функции.

Часть 3.

По заданным узловым значениям исходной функции (векторы и ) методом наименьших квадратов о построить аппроксимирующий многочлен, где. Условия построения аппроксимирующего многочлена методом наименьших квадратов дают систему линейных алгебраических уравнений (в количестве) относительно неизвестных. Записать указанную систему уравнений и решить ее вMathCADс помощью вычислительного блокаGiven…find. Отобразить в одном графическом шаблоне полученный аппроксимирующий многочлени узловые значения исходной функции. Рассчитать величину(среднеквадратичного отклонения) для полученного аппроксимирующего обобщенного многочлена.

Часть 4.

Для указанной функции и рассматриваемого интерваласформировать вMathCADв виде ранжированных переменныхNотсчетных значенийи,h- шаг между точками в интервале. Выполнить следующие виды приближений таблично заданной функции:

а) Реализовать в MathCADпо рассчитанным узловым значениям (векторыи) кусочно-линейную интерполяцию (функцияlinterp), кубическую сплайновую с различным продолжением (функцииlspline,pspline,cspline,interp). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию, узловые значения (векторыи) и четыре полученные интерполяционные функции.

б) По узловым значениям (векторы и) реализовать вMathCADВ-сплайн интерполяцию с различными степенями заменяющих полиномов (), выбрав самостоятельно векторы точек сшивокU. В одном графическом шаблоне отобразить исходную функцию, узловые значения (векторыи), три интерполяционные функцииВ-сплайнов и соответствующие им точки сшивок.

в) По узловым значениям (векторы и) реализовать вMathCADлинейную аппроксимацию (функцииline,medfit), полиномиальную аппроксимацию (функцииregress(в задании даны степени аппроксимирующих полиномов) иloess(параметрspanвыбрать самостоятельно)), аппроксимацию функциями специального вида (в задании указана одна из функцийexpfit,lgsfit,sinfit,pwfit,logfit,lnfit). Отобразить в одном графическом шаблоне исходную функцию, узловые значения (векторыи) и полученные аппроксимирующие функции; для всех аппроксимирующих функций рассчитать величину среднеквадратичного отклонения ().

Решение.