2 Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы
Задана функциональная схема потенциометрической следящей системы автоматического управления (САУ), рис.1.
Рис. 1 Функциональная схема следящей системы
В схему входят следующие элементы: КУ- корректирующее устройство, МУ – магнитный усилитель, Д- двигатель постоянного тока, приводящий в движение исполнительный механизм. Математическая модель данной структуры представлена в виде структурной схемы, рис.2. Значения коэффициентов передачи и постоянных времени звеньев приведены в табл.2.
Рис.2. Структурная схема системы
Необходимо:
1. Определить передаточную функцию разомкнутой системы.
2. Найти передаточную функцию замкнутой системы при единичной отрицательной обратной связи.
3. Определить предельное значение коэффициента передачи по условию устойчивости системы. Таблица 2
Параметр |
Вариант |
|||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
5,0 |
1,43 |
1,5 |
4,17 |
6,34 |
4,44 |
5,0 |
2,22 |
3,33 |
2,0 |
|
2 |
2,5 |
3,0 |
4,0 |
1,5 |
2,0 |
0,8 |
3,0 |
6,5 |
1,5 |
|
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,2 |
0,06 |
0,07 |
0,05 |
0,1 |
0,1 |
0,25 |
|
3 |
2,0 |
1,5 |
2,0 |
3,5 |
3 |
2,0 |
0,5 |
2,5 |
2,5 |
|
1,2 |
5,0 |
3,2 |
2,0 |
2,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
3,0 |
2,0 |
|
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,15 |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
Параметр |
Вариант |
|||||||||
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
|
|
3,0 |
1,3 |
2,5 |
5, 7 |
7,1 |
4,4 |
6,0 |
2,4 |
3,4 |
8,0 |
|
4 |
3,5 |
3,6 |
4,2 |
1,3 |
2,1 |
0,48 |
3,1 |
3,5 |
2,5 |
|
0,12 |
0,23 |
0,2 |
0,05 |
0,09 |
0,17 |
0,07 |
0,15 |
0,6 |
0,4 |
|
3,7 |
2,7 |
1,8 |
2,5 |
3,2 |
3,6 |
2,2 |
0,59 |
3,5 |
1,5 |
|
1,5 |
5,7 |
3,7 |
2,1 |
2,8 |
1,9 |
3,4 |
4,25 |
5,6 |
3,0 |
|
0,5 |
0,3 |
0,25 |
0,36 |
0,3 |
0,5 |
0,18 |
0,32 |
0,27 |
4,5 |
Методические указания
Если на структурной схеме, рис.2, удалить цепь отрицательной обратной связи, то схема станет разомкнутой и приобретёт вид, рис. 3.
Рис.3. Структурная схема разомкнутой САУ
Система состоит из четырех последовательно включённых звеньев. Общая передаточная функция в этом случае определяется как
Wраз(p)=W1(p)W2(p)W3(p)W4(p),
Тогда схема рис.3 может быть представлена в виде рис. 4 а. где К=К1К2К3К4 – общий коэффициент усиления
а) б)
Рис.4. Структурные схемы САУ: а – разомкнутая; б - замкнутая
Если разомкнутую схему рис.4а охватить единичной обратной связью то она примет вид рис. 4б. Её общую передаточную функцию можно определить по формуле
В результате схему рис. 4б можно свернуть и представить в виде рис.5
Рис.5. Структурная схема САУ в свернутом виде
Устойчивость САУ определяется по характеристическому уравнению, полином которого находится в знаменателе передаточной функции замкнутой системы. Воспользуемся критерием устойчивости Гурвица, который формируется следующим образом: система будет устойчивой, если при аi>0 главный определитель Гурвица Δ и все его диагональные миноры Δi будут больше нуля.
Характеристическое уравнение системы
После преобразований получим
Обозначим коэффициенты при p
соответственно
Тогда это уравнение будет иметь вид
где
Условие устойчивости системы по критерию Гурвица для уравнения третьего порядка определяется:
Для решаемой задачи это означает
Подставляя в это неравенство коэффициенты
аi, получаем:
или
Отсюда условие устойчивости
и величина предельного коэффициента передачи
