7.3.9. Пример расчета регрессионной математической модели для определения среднего месячного притока в водохранилище

Требуется на основании имеющихся рядов наблюдений продолжительностью в 49 лет идентифицировать структуру и параметры регрессионной математической модели для прогнозирования полезного притока в водохранилище с заблаговременностью в 1 месяц.

Пусть известно, что средний месячный приток в водохранилище У может зависеть от десяти потенциальных предикторов:

X₁ — приток в течение предшествующего месяца; Х₂, Х₃, Х₄— осадки по данным первой станции в течение трех предшествующих месяцев; Х₅, Х₆, Х₇ — осадки по данным второй станции в течение трех предшествующих месяцев; Х₈, Х₉ — температура воздуха в два предшествующих месяца; Х₁₀— показатель атмосферной циркуляции.

Требуется на основании имеющихся рядов наблюдений продол­жительностью в 49 лет идентифицировать структуру и параметры регрессионной математической модели.

Расчеты производятся по следующей схеме.

1. Рассчитываются статистические характеристики всех рядов наблюдений. Результаты расчетов по рядам X представлены в табл. 7.1.

Таблица 7.1.

Основные числовые характеристики по рядам предикторам

Название ряда		σj	Название ряда		σj
Y	3,49	0,45	X6	3,81	0,60
X1	3,64	0,47	X7	3,85	0.56
X2	3,32	0,51	X8	-0.28	2.48
X3	3.23	0,64	X9	3,15	1 ,97
X4	3,15	0,82	X10	2,78	3,12
X5	3,84	0,50

2. Рассчитывается вектор-строка коэффициентов корреляции ряда Y с рядами X_j:

(r_0j) = (0,03 0,37 0,25 0,25 0,38 0,30 0,43 -0,61 0,23 -0,05). (7.91)

3. Рассчитываются парные коэффициенты корреляции между предикторами r_hj и строится матрица A₀₀

( 7.92)

4. Из всего набора предикторов, во избежание плохой обусловленности системы (7.57), определяются пары дублирующих аргументов, один из которых затем исключается. Для этого но формуле (3.25) рассчитывается средняя квадратическая ошибка максималь­ного по абсолютной величине коэффициента корреляции r_jh - σ_jmax = 0,09. Затем по формуле (3.71) определяется, что дубли­рующими считаются предикторы, если коэффициент корреляции между ними | r_jh | > 0,82. В данном случае максимальная величина r_jh равна 0,66 и, следовательно, среди потенциальных предикторов дублирующих нет.

5. Производится отбор оптимального числа т наиболее эффек­тивных предикторов и отсеиваются неэффективные. Для этого вначале из всей совокупности предикторов отбирается предиктор, имеющий наибольшую величину коэффициента корреляции r_0h/ Коэффициент корреляции R₀ равен в данном случае r_0h , а σ_R рас­считывается по формуле (3.64). Затем из оставшихся девяти предик­торов 'выбирается второй предиктор, который в совокупности с пер­вым отобранным предиктором дает наибольший сводный коэффи­циент корреляции. Затем из оставшихся восьми предикторов выби­рается предиктор, который в сочетании с двумя ранее выбранными дает наибольший сводный коэффициент корреляции. И так далее до тех пор, пока не начнет возрастать средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции σ_R, В результате такого пере­бора получаем сочетание наиболее эффективных предикторов при различном их числе (табл. 7.2).

Таблица 7.2

Сочетание наиболее эффективных предикторов при различном их числе m₀

mo	Предикторы	R0	σR
1	X8	0,61	0,37
2	X8 , Х5	0,72	0,33
3	Х8 , X5, X7,	0,77	0,32
4	Х8, Х5, Х7 X9 ,	0,78	0,32
5	X8, Х5, Х7, Х9, Х2	0,79	0,31
6	X8 , Х5, Х7, X9, Х2, Х10	0,79	0,32
7	X8, Х5, X7, Х9, Х2, Х10, X11	0,80	0,33

Обычно по результатам такого перебора строятся совмещенные графики зависимости R = f(m) и σ_Ro= f(m) (рис. 7.10), по которым производится выбор оптимального числа предикторов. В данном случае, по-видимому, наилучшая регрессионная зависимость будет Для случая m = 5 при наборе предикторов Х₈, Х₅, Х₇, Х₉, Х₂. Дей­ствительно, при m = 5 величина R_о уже практически не возрастает, а величина σ_R0 начинает возрастать.

рис. 7.10. Графики зависимости сводного коэффициента корреляции (r) и его средней квадратической ошибки (σ_r) от числа наи­более эффективных аргументов

Возможны и другие методы отбора эффективных предикторов. В частности, в соответствии с формулой (3.70) предварительно можно было исключить неэффективные предикторы.

6. Для оптимального числа наиболее эффективных предикто­ров строится матрица А_оо

(7.93)

7. Рассчитывается определитель D₀₀. В данном случае D₀₀ = 0,08

8. Путем последовательной замены соответствующего столбца в матрице А₀₀ столбцом свободных членов из коэффициентов кор­реляции r_0j строятся матрицы A_nj и рассчитываются определи­тели D_oj,

9. По формуле (3.52) рассчитываются весовые коэффициенты

a₂ = 0,11, a₅ = 0,11, a₇ = 0,14, a₈ = - 0,23, a₉ = 0,09.

10. Подставляя значения весовых коэффициентов в формулу (3.40), получаем

δу_i = -0,23 δx_8i, + 0,11 δx_5i + 0,14 δx_7i + 0,09 δx_9i + 0,11δx_2i (7.94)

Таким образом, в результате идентификации регрессионной математической модели притока воды в водохранилище определена структура модели и ее параметры. При построении модели выяс­нилось, что приток воды в водохранилище зависит от: темпера­туры воздуха в два предшествующих месяца, осадков по данным второй станции в течение 3 и 1 предшествующих месяцев и осадков по данным первой станции в течение первогопредшествующего месяца.