254

77777 Глава 7. Cтатистические зависимости и линейная корреляция в геоэкологии

Испортил!!!

7.1. Статистические зависимости явлений в природе

7.1.1. Задачи изучения взаимосвязей природных процессов

Их можно условно разделить на два класса:

1. Выяснение причин или факторов развития процессов во времени и пространстве.

2. Определение конкретных значений или тенденции развития данного процесса в будущем. Или, иначе, решение задач предсказания и прогноза будущих значений исследуемых явлений и восстановление пропущенных данных.

Обычно используются ряды наблюдений Y и X_j (j = 1, 2, … , m) за совместный период наблюдений. В практике ряд Y обычно называется зависимой переменной или функцией, ряды X – независимыми переменными или аргументами. Нередко также, особенно в прогнозах, ряд Y называется предиктантом, а ряд X – предиктором

Математический анализ обяза­тельно должен сопровождаться физическим анализом, отсутствие которого может привести к серьезным просчетам и, нередко, к парадоксальным результатам.

7.1.2. Функциональные и стохастические связи

Связь исследуемых процессов оценивается по соответствию изменений их значений во времени или пространстве или и во времени и в пространстве.

Связь по форме может быть линейной или нелинейной, по тесноте – более или менее тесной.

Линейные связи более просты и для описания их требуется меньший объем информации.

По тесноте связи, или степени определенности одного из сопоставляемых процессов относительно другого, связи могут быть функциональные и стохастические.

1. Функционально зависимые величины.

Зависимость между рассматриваемыми процессами бывает настолько тесной, что, зная значения одного из процессов, можно указать точные значения другого.

Случайная величина Y называется функционально зависимой от случайной величины X если каждому значению X соотвествует только одно возможное значение Y

Функциональные связи встречаются в различного рода технических приложениях, в фи­зике и т. д.

где R — постоянный коэффициент. В соответствии с этой функциональной зависимостью принимается что заданной паре значений T и V соответствует только одно возможное значение Р .

Функциональной обычно принимается зависимость гидростатического давления от высоты столба жидкости

P=P₀ + γh,

где Р — гидростатическое давление, Р_о — давление на единицу площади свободной поверхности жидкости, γ— масса единицы объема жидкости, h — высота столба жидкости.

=

Рис. 7.1. График связи функционально зависимых величин

Реже, но встречаются функциональные связи и в практике геоэкологических исследований, при оценке параметров окружающей среды.

2. Независимые величины

Исследуемые процессы часто бывают независимыми, т. е. изменение значений одного процесса не зависит от изменений другого.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения Y не зависит от того, какое значение приняло X, т. е. при любом х

f (y/x) = f(y) (7.1)

где f(y/x) —условная плотность распределения, f(у) — плотность распределения Y

В более общем виде условие независимости выражается через функции распределения:

F(y, x) = F₁ (y) F₂ (x) (7.2)

т. е. функция распределения системы независимых случайных величин равна произведению функций распределения отдельных величин, входящих в систему.

Рис. 7.2. График связи независимых величин.

3. Вероятностная (стохастическая) зависимость

Чаще всего при исследовании характеристик окружающей среды встречается так называемая вероятностная или стоха­стическая зависимость.

Случайные величины Y и X называются стохастически связанными, если каждому значению X соответствует определенный диапазон значений Y и наоборот каждому значению Y соответствует определенный диапазон значений X

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесная.

Функциональная зависимость — крайний предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости.

Другой крайний случай – полная независимость. Между ними все градации вероятностной зависимости от самой сильной до самой слабой.

Для стохастически связанных случайных величин X и Y можно записать

f(x,y) = f₁(x)f₂(y/x) (7.3)

т. е. плотность распределения системы двух случайных величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженную на условную плотность другой величины, вычисленной в предположении, что первая величина приняла заданное значение.

На рис. 7.3 представлен график связи двух зависимых величин.

Рис. 7.3. График связи стохастически зависимых величин.

а — сильная связь, б — слабая связь.