Арифметическое векторное пространство.
Выполнить указанные операции с векторами:
а) (1; 2; 1) + (1; 1; 2)
б) (1; 1; 3; 2) + (1; 1; 3; 2)
в) 4 (4; 1; 2; 0) 7 (2; 1; 0; 5)
г) 5 (1; 3; 2) 2 (5; 0; 5) + 3 (5; 5; 0)
д) (1,5; 2,5; 7,5) + 3 (0,5; 0,5; 2,5) 2 (1; 2; 1)
е)
Найти ранг системы векторов:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Найти ранг системы векторов:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Определить, являются ли данные векторы линейно независимыми:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Найти базу системы векторов и выразить оставшиеся векторы через базу:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
Найти ранг матрицы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Найти ранг матрицы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Найти скалярное произведение векторов:
а) (1; 2; 3) и (3; −1; 1) ; б) (3; 6; 9) и (2; −1; 1) ;
в)
и
; г)
и
;
д)
(2; −1; 2) и (2; 2; −1) ; е)
и
.
Найти скалярное произведение:
а) (1; 1; 0; 1) и (0; −1; −1; 2) ; б) (1; 4; −2; 2) и (3; −1; −2; −5) ;
в) (2; 1; 0; 1; 2) и (1; 2; 3; 2; 1) ;
г) (100; 100; 300; 500) и (0,1; −0,2; −0,3; 0,4) .
Выяснить, ортогональны ли векторы:
а) (1; 0; 1) и (0; 2; 0) ; б) (1; 0; 2; 0) и (0; 2; 0; −1) ;
в)
и
; г)
(1; −1; 2; 2) и (2; −1; 3; 3) ;
д)
и
;
е)
и (−1; −2; 3; 4) .
Найти длину вектора:
а) (1; −1); б) (2; 1); в) (3; 4);
г) (1; 2; 2); д) (−2; 1; −2); е) (1; 1; −1);
ж)
;
з)
;
и)
;
к) (1; 2; −1; 1); л) (2; 4; 1; 2); м) (1; 1; −1; 1; 1).
Найти косинус угла между векторами:
а)
(1; 0) и (2; 0); б)
(3; 4) и (4; 3); в)
и
;
г) (2; −3) и (−6; 9); д) (1; 0; 1) и (−1; 0; 1);
е) (1; 1; 2) и (2; 1; 1); ж) (1; −2; 1) и (−1; −1; 0);
з) (8; 0; −6) и (6; −2; 3).
1.3. Матрицы.
1.3.1.
Найти матрицу
если:
а)
б)
в)
1.3.2. Умножить матрицы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
1.3.3. Найти матрицы АВ и ВА, если:
а)
б)
1.3.4. Найти матрицу АВ – ВА, если:
а)
в)
1.3.5. Вычислить:
а)
1.3.6. Вычислить ААТ, если:
1.3.7. Найти:
а)
матрицу АВ+2АТ,
если
б)
матрицу АВТ
– А, если
в)
матрицу (ВА+3В)Т,
если
г)
матрицу АТВ
– 2В, если
1.3.8. Решить систему матричных уравнений:
а)
б)
в)
1.3.9. Доказать, что если для двух матриц А и В верно равенство АВ=ВА, то
а) (А+В)2 = А2 + 2АВ + В2 ;
б) А2 – В2 =(А-В) (А+В).
1.3.10. С помощью присоединенной матрицы найти обратную к матрице:
1.3.11. С помощью элементарных преобразований найти обратные к матрицам из пп.. е) – и) предыдущей задачи.
1.3.12. Найти с помощью элементарных преобразований обратную к матрице:
1.3.13. Доказать, что если для двух квадратных матриц А и В верно равенство АВ=ВА, причем А – невырожденная, то А-1В=ВА-1.
Упростить (А, В, С – квадратные невырожденные матрицы порядка n):
а) ((А (ВА)-1) (ВСТ))Т; б) ((АВ)Т (АТ)-1) (СВТ)-1;
в) (СТ((СВ)Т)-1) (АТВ)Т; г) (АВ-1)-1 ((САТ)Т (СТ)-1);
д) АТ (ВАТ)-1 (СВ-1)-1 (АСТ)Т; е) ((В-1С)-1 В-1 АТ)Т СТ.
Используя обратные матрицы, найденные в предыдущих задачах, решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений:
Решить с помощью обратной матрицы системы линейных уравнений:
Решить матричные уравнения:
