3.6. Закон распределения, функция распределения и числовые характеристики дискретной случайной величины (дсв). Законы распределения: биноминальный, Пуассона.

3.6.1. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi	-1	0	2
рi	0,2	р	0,3

Найти: а) вероятность р; б) Р (Х 0); в) Р(-1<X<3); г) P(-2 X<0); д) P(X>-1); е) функцию распределения F(x). Построить график функции распределения и полигон. Вычислить М [Х] и D[Х].

3.6.2. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi	1	2	3	5
рi	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти: а) Р (Х>2); б) Р(1,5 3,5); в) Р (Х<4); г) Р(2 Х<5); д) функцию распределения; е) M[Х]; ж) D[Х]. Построить график функции распределения и полигон.

3.6.3. Дан закон распределения ДСВ Х:

хi	0	2	3
рi	р1	р2	¼

Найти р₁ и р₂, если М [Х]=1. Найти: а) P(-1<X<3); б) P(0<X 3); в) P(2 X<4); г) D[Х]. Построить график функции распределения.

3.6.4. Выполнить задания предыдущей задачи, если закон распределения задан таблицей:

хi	1	2	3
рi	р1	р2	1/4

и М [Х]=7/4.

3.6.5. Найти: а) закон распределения; б)М[Х]; в) D [Х]; г) P (1<X<2); д) Р(X 1,5), если функция распределения случайной величины Х равна

0, если х 0,

3/5, если 0<x 1,

F (x)= 4/5, если 1<x 1,5

14/15, если 1,5<x 3,

1, если х>3

3.6.6. Найти: а) закон распределения; б) M[Х]; в) D[Х]; г) P(|X| 1); д) P(0<X 2), если функция распределения случайной величины Х равна

0, если х - 2,

1/3, если – 2<x 0,

F (x)= 5/6, если 0<x 1,

11/12, если 1<x 2,

1, если x>2

3.6.7. Студент знает 10 из 15 экзаменационных вопросов. Ему задают два вопроса, случайным образом выбранные из списка. Случайная величина Х – число вопросов, на которые ответил студент. Найти закон распределения данной случайной величины, М [Х], D[Х].

3.6.8. В лотерее на каждые 100 билетов один выигрывает 500 рублей, два – по 300 рублей, три – по 100. Построить закон и функцию распределения выигрыша владельца одного билета, если билет стоит 50 рублей. Найти математическое ожидание выигрыша.

3.6.9. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0,7, для второго стрелка – 0,8. Случайная величина Х – суммарное число попаданий в мишень в данном эксперименте. Найти закон распределения данной случайной величины, M[Х], D[Х].

3.6.10. Бросают четыре монеты. Найти: а) закон и функцию распределения числа выпавших гербов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.6.11. В среднем около 20% клиентов, обратившихся в фирму «Турсервис», оказываются недовольными уровнем обслуживания в этой фирме. Найти: а) закон и функцию распределения числа недовольных среди трех случайным образом выбранных клиентов; б) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

3.6.12. Три читателя библиотеки взяли по экземпляру одной и той же книги. Раскрыв наугад книгу, они ищут на этой странице опечатку. Вероятность найти опечатку на одной странице равна 0,05. Найти математическое ожидание и дисперсию числа обнаруженных страниц с опечатками и вероятность того, что это число не больше 1.

3.6.13. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, вынимается шар, записывается его цвет и шар возвращается обратно. Опыт повторяется 5 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений белого шара, а также вероятность того, что это число будет не меньше 2.

3.6.14. Цех, выпускающий электробритвы, дает в среднем 10% брака. Найти математическое ожидание и дисперсию количества бракованных экземпляров среди 30 наугад выбранных бритв.

3.6.15. В условиях задачи 3.5.20 найти: а) математическое ожидание числа страховок, выплаченных компанией за год; б) среднюю годовую прибыль страховой компании.

3.6.16. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятность того, что: а) за две секунды на АТС поступит менее 2 вызовов; б) за одну секунду на АТС поступит ровно три вызова; в) за три секунды на АТС поступит не менее трех вызовов.

3.6.17. В тесто кладется изюм из расчета три изюминки на булку. Найти вероятность того, что в купленной булке: а) нет ни одной изюминки; б) больше трех изюминок; в) ровно четыре изюминки. Сколько изюма надо класть в тесто, чтобы вероятность иметь хотя бы одну изюминку в булке была не меньше 0,99?

3.6.18. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа.

3.6.19. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,95.

3.6.20. За час в базу данных поступает в среднем 120 запросов. Найти вероятность следующего события A: за данную минуту поступит четыре запрос.

3.6.21. Данный наборщих в среднем делает одну ошибку на две страницы текста. В набранной книге взяли наугад страницу. Найти вероятности следующих событий: A – на странице нет опечаток; B – на странице больше одной опечатки.

3.6.22. В тесто положили изюм из расчета по пять изюмин на одну булку и хорошо перемешали тесто. Взяли наугад булку. Найти вероятность следующего события A: во взятой наугад одной булке есть хотя бы одна изюмина.

3.6.23. Монета подбрасывается 5 раз, X – дискретная случайная величина, равная разности между числом выпавших орлов и числом выпавших решек. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.24. На связке пять разных ключей, ровно один из которых подходит к замку. Некто по очереди вставляет ключи в замок до тех пор, пока не откроет дверь (не подошедшие ключи откладываются в сторону). Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу попыток. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.25. Среди десяти шаров имеется три черных. Наудачу выбрано два шара. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу черных шаров среди двух выбраных. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).

3.6.26. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна p. Стреляют до первого попадания в цель. Пусть X – дискретная случайная величина, равная числу произведенных выстрелов. Для случайной величины X найти математическое ожидание M(X).