Билеты экзамен Прокудина векторы
.docxВекторы
Вектор – сонаправленный отрезок. Обозначается или .
Вектор называется нулевым, если начало и конец вектора совпадают.
Длина или модуль вектора обозначается .
Два вектора называются равными, если:
-
Они лежат на одной прямой или на параллельных прямых
-
Имеют одинаковое направление
-
Имеют одинаковую длину.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Операции над векторами
-
Сложение векторов
-
Умножение вектора на число
Т. Пусть коллинеарные векторы, значит существует число, такое, что .
Доказательство.
Единственность. (от противного) , выводим, получаем б1=б2. Такие дела.
Свойства сложения векторов и умножения на число (аксиомы векторного пространства)
-
A+b=b+a.
-
A+b+c – диагональ куба.
-
Существует такой ноль вектор, что для любого а: а+0=а
-
Для любого а существует –а, такое что а+(-а)=0
-
– дистрибутивность
-
– дистрибутивность
-
1*а=а
Векторное пространство
Действительным или вещественным векторным пространством назовем множество элементов, которое будем называть векторами, на котором заданы две операции сложения и умножения вектора на действ. Число, при выполнении свойств 1-8, которые называются аксиомами векторного пространства.
Проекция вектора на ось
Определение. Ось – это прямая, на которой выбрано направление, заданное ненулевым вектором.
Алгебраическое значение проекции
Определение. Алгебраическим значением проекции вектора АБ на ось а параллельно прямой l назовем число, равное
Свойства алгебраического значения проекции
Ортогональная проекция
Теорема. Пусть - ортогональная проекция АБ на а. Тогда .
Доказательство.
Линейная зависимость и независимость системы векторов
, k – какое то число.
Х – линейная комбинация векторов.
Если х=0, все равны 0, то назовем систему векторов линейно независимой.
Если существует , при котором х=0, то система линейно зависимая.
Базис векторного пространства (базис системы векторов)
Базисом векторного пространства назовем множество векторов, которое:
-
Базис линейно-независимый.
-
Любой вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов из базиса
Базис обозначается как ециферка , где циферка – размерность базиса.
Теорема
Рассмотрим векторное пространство и – его базис. Тогда можно выразить любой вектор через этот базис. Так и только так.
Доказательство
Пусть не только так. (то же самое через у). Все равно потом получим что x=y. Такие дела.
Разложение вектора по базису
Х=х1е1+х2е2+хкек – разложение вектора по базису.
Координаты вектора
X1,x2,xn – координаты вектора x в базисе e1,e2,en
– координатный столбец вектора х
Теорема
При сложении двух векторов соответственные координаты складываются, при умножении на число каждая координата умножается на число
Доказательство
Х=х1е1+х2е2+хкек
Y=y1e1+y2e2+ykek
X+y= (х1е1+х2е2+хкек)+( y1e1+y2e2+ykek), выносим каждое е и профит.
Х*число=число*( х1е1+х2е2+хкек), раскрываем.
Базис множества всех векторов на прямой(GV1)
Любой ненулевой вектор в GV1 образует базис.
Доказательство
Все векторы на прямой коллинеарны друг другу, значит их можно выразить.
Базис множества всех векторов на плоскости (GV2)
Теорема
Пара неколлинеарных векторов образует базис в GV2
Док-во
Пусть есть базис e1,e2; e1,e2 не ноль,
От противного: пусть какое-то альфа не ноль, тогда наш базис линейно независимый.
Базис множества всех векторов в пространстве (GV3)
Теорема
Упорядоченная тройка векторов некомпланарных векторов образует базис в GV3.
Доказательство
Пусть e1,e2,e3 – некомпланарные, каждый не равен 0, тогда:
-
– линейно независимая система
(от противного) Пусть существует какое то гамма не ноль,
-
блаблабла
Скалярное произведение векторов и его свойства
Скалярным произведением векторов а и б назовем число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначается а*b=(a;b)
Свойства:
-
если , для всех а,б не ноль
Доказательство
Доказательство
Скалярное произведение в произвольном базисе
Пусть e1,e2,e3 – базис GV3
A=a1,a2,a3
B=b1,b2,b3
Скалярное произведение в ортонормированном базисе
т.к.
Вычисление длины вектора
Угол между векторами
Ортогональный базис
Скалярное произведение любой комбинации векторов оснований базиса равно нулю.
Ортонормированный базис
Базис назовем ортонормированным если он ортогональный и все его векторы равны единице.
Задание ориентации на прямой, на плоскости и в пространстве
-
На прямой (GV1)
Любой не нулевой вектор
-
На плоскости (GV2)
Любые 2 некомпланарных вектора.
Если кратчайший путь от 1 вектора ко второму осуществляется против часовой, то такая ориентация называется положительной, в противном случае – отрицательной.
-
В пространстве (GV3)
Тройку назовем правой, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой.
Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов (a;b) назовем вектор с, который делается следующим образом
-
– правая тройка
Обозначается как [a,b].
Если один из векторов равен 0, то все произведение равно 0.
Свойства векторного произведения
Доказательство
Ну а синусу на все похер.
-
[a,b]=0, если a||b, или один из них 0
-
Модуль векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах
Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением назовем скалярное произведение
Ориентированным объемом параллелепипеда, построенного на а,б,с назовем объем данного параллелепипеда, взятого с плюсом, если тройка правая и с минусом если левая.
Свойства смешанного произведения
-
Смешанное произведение 3х векторов равно ориентированному объему параллелепипеда, построенного на данных векторах
Док-во
, где – площадь основания, а – его высота.
-
Логический сдвиг налево
-
При перестановке двух векторов меняется знак
Критерий компланарности трех векторов
3 векторы компланарны, когда их смешанное произведение равно 0.
Векторное произведение в координатах
все одинаковые равны 0, все остальные дают третью букву
Смешанное произведение в координатах
в базисе