41. Понятие алгебраической системы данной сигнатуры

Алгебраической системой сигнатурыназовем алгебраическую систему, в которой:

1. Каждому n-местному предикатному символу изсопоставленn-местный предикат из, заданный на М.

2. Каждому n-местному функциональному символу изсопоставленаn-местная функция из, заданная на М.

3. Каждой предметной константе изсопоставлен элемент

42. Свободные и связанные переменные. Термы, свободные для данной переменной в данной формуле.

Переменная называется свободной в ппф, если имеются свободные вхождения этой переменной в этой ппф.

Переменная называется связанной в ппф, если имеются связанные вхождения этой переменной в этой ппф.

Все свободные и связанные переменные обозначаются разными буквами.

Терм свободен для переменнойв формулеесли никакое свободное вхождениевне находится в области действия никакого квантораили, где– переменная, входящая в.

43. Значение терма данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры. Пример.

Определим значение терма системы, все предметные переменные которого содержатся в наборев алгебраической системепри значениях переменныхсоответственно следующим образом:

1. Если есть константа, то значениеесть значение

2. Если есть переменная, то значениеесть

3. Если , асоответственно, тосогласно функции

Пример:

Пусть , тогда

44. Значение ппф АП данной сигнатуры в алгебраической системе той же сигнатуры

Значение в алгебраической системеприопределим следующим образом:

1. Если , тотолько если

в, иначе

2. Если , тотолько еслии, иначе

3. Если , тотолько еслиииначе

4. Если , тотолько еслиииначе

5. Если , тотолько еслии наоборот.

6. Если , тотолько еслидля всех, иначе

7. Если , тотолько еслихотя бы для одного, иначе

45. Кванторыикак обобщения логических связок & и.

Если М – конечное основное множество алгебраической системы сигнатуры,– ппф данной сигнатуры, то предложенияи, где, имеют одно и то же значение.

Если М – конечное основное множество алгебраической системы сигнатуры,– ппф данной сигнатуры, то предложенияиимеют одно и то же значение.

46. Выполнимые формулы АП. Пример.

Ппф сигнатурыназовем выполнимой, если существует такая алгебраическая система, чтоистинна впри некоторых значениях свободных предметных переменных.

Пример:

выполнима.

47. Тождественно истинные формулы АП. Пример доказательства тождественной истинности.

Ппф сигнатурыназовем тождественно истинной, еслиистинна в любой алгебраической системе сигнатурыпри любых значениях свободных предметных переменных.

Пример:

– тождественно истинная.

Доказательство производится методом от противного, тоесть

такое возможно лишь при, что невозможно.

48. Эквивалентные формулы АП. Пример.

Две ппф алгебры предикатов исигнатурыназываются эквивалентными, если они принимают одинаковые значения (tилиf) в любых алгебраических системах данной сигнатуры. Факт эквивалентности ппфизаписывается в виде.

Если они эквивалентны только в какой-то алгебраической системе , то факт эквивалентности записывается как(а внизу такая хуевинка

Пример:

в любой алгебраической системе

эквивалентны лишь в системе с одноместной базой (вместоxТОЛЬКОtили ТОЛЬКОf)

49. Теорема о замене подформулы на эквивалентную подформулу в ппф алгебры предикатов.

Пусть – подформула,, тогда

50. Теорема о подстановке ппф вместо атомной формулы в эквивалентные ппф алгебры предикатов

Пусть - ппф сигнатуры,– атомная формула, тогда если

51. Пренексные нормальные формы. Теорема о существовании эквивалентной пнф: алгоритм получения эквивалентной пнф.

Пусть Qобозначает некоторый кванторили. Тогда ппф вида, где– бескванторная формула, называетсяпренексной нормальной формой.

Теорема о существовании:

Для любой ппф алгебры предикатов существует эквивалентная ей пренексная форма.

Алгоритм получения:

1. Исключаем

2. Продвигаем до атома.

3. Переименовываем связанные переменные

4. Вынесим кванторы

52. Сколемовская стандартная форма (ссф): основная теорема, функции Сколема.

Пренексная форма вида называется сколемовской.

Основная теорема:

Пусть предложение сигнатурыимеет вид

Также пусть –nместные функциональные символы.

Пусть предложение сигнатурыимеет вид

Тогда для любой алгебраической системы существует алгебраическая систематакая, что значениевсовпадает со значением.

- обогащение, а– обеднение. Функции, вводимые вместо кванторов, называются функциями Сколема.

53. Сколемовская стандартная форма (ссф): следствие основной теоремы.

Пренексная форма вида называется сколемовской.

Следствие:

Для любого предложения сигнатурысуществует некотороепредложениерасширенной сигнатуры, полученное добавлением кновых функциональных символов, и обладающее свойством: для любой алгебраической системысуществует обогащениетакое, что значениевсовпадает со значениемв.

54. Сколемовская стандартная форма(ссф): процедура построения, алгоритм Сколема.

Алгоритм Сколема:

1. Представить исходное предложение в виде пнф

2. Найти квантор

3. Если квантор самый первый, то заменить все вхожденияна

4. Если нет, то заменить все вхождения на

5. Повторять до усеру.

55. Понятие логического следствия в АП. Пример.

Ппф сигнатурыназывается логическим следствием множества формултой же сигнатуры в алгебре предикатов, если в любой алгебраической системеппфполучает значениеtкаждый раз, как каждая ппф ппфпринимает значениеtв этой системе.

Пример:

Пусть ,.

Рассмотрим произвольную алгебраическую модель . Пусть в этой модели, тогда, значит. Значит.

56. Выполнимые и невыполнимые множества посылок в АП

Множество посылок выполнимо в алгебре предикатов, если найдется алгебраическая система соответствующей сигнатуры такая, что в базе этой системы существует набор значений свободных переменных, на котором все формулы изпринимают значениеt.

Множество посылок невыполнимо в АП, если в любой алгебраической системе соответствующей сигнатуры для любого набора значений свободных предметных переменных найдется ппф, значение которой =f.

57. Понятие резольвенты в АВ. Пример.

Пусть – кнф,– элементарные дизъюнкции (дизъюнкты).

Резольвентой дизъюнктов назовем дизъюнкт

58. Теорема о свойстве резольвенты.

или

59. Основная теорема

Кнф тождественно ложно тогда и только тогда, когда тождественно ложна кнф

60. Формулировка принципа резолюции в АВ

Пусть - некоторое множество дизъюнктов и пусть для, где– резольвента некоторой пары дизъюнктов из. Тогда, если для некоторогоi, то кнф.

61. Схема применения принципа резолюции для доказательства факта логического следствия в АВ. Пример применения принципа резолюции для доказательства факта логического следствия.

Необходимо определить, имеет ли место факт логического следствия

1. Образуем ппф

2. Для строим эквивалентную ей кнф

3. Образуем и применяем принцип резолюции. Если на каком-то шагеi-1 получаем «пустой дизъюнкт» - тождественно ложную резольвенту, то

Пример:

Проверим

1. 

2. 

3. видим чтообразуют контрарную пару литер и дают, значит

62. Схема построения модели алгоритма

1. Выделение основных свойств (характерных черт, присущих алгоритму)

2. Определение основных элементов модели, исходя из выделенных характерных черт.

3. Принятие основных предположений об элементах модели (установление основных ограничений)

4. В рамках принятых предположений построение и анализ конкретных моделей алгоритмов

5. Установление взаимосвязи между различными моделями алгоритмов.