22. Непротиворечивые (выполнимые) и противоречивые (невыполнимые) множества посылок. Примеры.

Множество посылок называется выполнимым, если существует такой набор пп, что они все одновременно принимают значениеt.

Пример:

Если завтра мало пар и не к первой, то я пойду в универ.

A– мало пар (если мало, тоt)

B– не к первой паре (если не к первой, тоt)

C– я пойду в универ (если пойду, тоt)

Формулировка

A	B	C
F	F	F	T
F	F	T	T
F	T	F	T
F	T	T	T
T	F	F	T
T	F	T	T
T	T	F	F
T	T	t	T

A,B,множество посылок является выполнимым.

Множество посылок называется невыполнимым, если такого набора не существует.

Пример:

Если завтра мало пар, не к первой, а я – девушка, то я пойду в универ.

«Я девушка» - тождественно ложное высказывание, значит множество посылок невыполнимо.

23. Установление факта логического следствия из данного множества посылок по таблице истинности.

1. Составляем таблицу истинности

2. Ищем строки, в которых все посылки =t

3. Если заключение в каждой из этих строк =t, то это логическое следствие.

Если завтра мало пар и не к первой, то я пойду в универ.

A– мало пар (если мало, тоt)

B– не к первой паре (если не к первой, тоt)

C– я пойду в универ (если пойду, тоt)

Формулировка

A,B,множество посылок, С – заключение

A	B	C
F	F	F	T
F	F	T	T
F	T	F	T
F	T	T	T
T	F	F	T
T	F	T	T
T	T	F	F
T	T	T	T

Значит это логическое следствие.

24. Установление факта логического следствия из данного множества посылок путем определения совместности соответствующей системы логических уравнений.

Пусть – множество посылок,– заключение.

1. Проверяем на выполнимость, если– невыполнимо, то, если нет, то переходим к пункту 2

2. Составляем систему вида:

3. Если система несовместна, то , иначе – нет.

25. Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к установлению факта логического следствия из другого множества посылок)

Пусть – какое-то множество посылок,– ппф.

1. 

2. Если , то

3. Если , то

4. Если и, то

5. Если , то

26. Основные теоремы о логическом следствии (сведение установления факта логического следствия из данного множества посылок к проверке тождественной истинности или тождественной ложности формул АВ)

1. если

2. если:

   1. 

   2. 

3. если

4. еслитождественно ложна.

27. Схемы аксиом ИВ. Получение аксиом из схем аксиом ИВ. Пример.

В качестве схем аксиом ИВпримем следующие выражения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

В схемах аксиом - любые ппф.Аксиомы исчисления высказыванийполучаются из приведенных схем при подстановке в них ппф.

Пример:

получается при подстановке в А1 при

28. Правило выводаmodusponens. Пример применения

– любые ппф.называется непосредственным следствием формул

Пример:

Из А10 приполучим

Из А1 приполучим

Применим MPс

Таким образом, мы вывели формулу (доказали теорему) .

29. Понятие доказательства в ИВ. Понятие исчисления.

Формула доказуема (выводима) в ИВ если существует конечная последовательность формул, обладающая следующими свойствами:

1. - аксиома

2. 

3. выводится при помощиmodusponensиз ранее выведенных формул.

Исчислением называется множество всех формул, доказуемых из аксиом множествапри помощи правил вывода

30. Понятие доказательства из гипотез в ИВ

Формула доказуема (выводима) из множества гипотезесли существует конечная последовательность формулобладающая следующими свойствами:

1. – аксиома или

2. 

3. выводится с помощью правила выводаmodusponensиз ранее выведенных формул

31. Основные теоремы о доказуемости из гипотез в ИВ.

1. 

2. Если , то

3. Если , то

4. Если и, то

5. Если и, то

6. Если , то

32. Теорема о дедукции в ИВ

Если , то

33. Понятие производного допустимого правила вывода в ИВ. Пример.

Все допустимые правила вывода, отличные от MP, будем называтьпроизводными допустимыми правилами вывода.

Пример:

– введение конъюнкции.

34. Технология доказательства с использованием произвольных допустимых правил вывода: сведение к подзадачам. Пример.

35. Теорема о совпадении множества тождественно истинных формул АВ и доказуемых формул ИВ: план доказательства

Для доказуемости формулы в ИВ необходимо и достаточно, чтобы она была тождественно истинной формулой АВ.

Пусть у нас есть . Для проверки факта доказуемости рассмотрим

. Формула не является тождественно истинной, значит не доказуема.

36. Связь между наличием факта логического следствия в АВ и тождественной истинностью вложенной импликации посылок и логического следствия этих посылок

тогда и только тогда, когда

37. Связь между наличием факта логического следствия в АВ и доказуемостью из гипотез в ИВ.

тогда и только тогда, когда

38. Непротиворечивость ИВ

Исчисление называетсяпротиворечивым, если существует такая формула, чтои. Если такой формулы не существует, то исчисление назовемнепротиворечивым.

39. Понятие алгебраической системы

Алгебраической системой назовем множествоMс заданными на нем некоторыми функциямии некоторыми предикатами

Такую систему будем обозначать

Если предикатов нет, то система называется алгеброй.

Если функций нет, то система называется моделью.4

40. Алфавит и язык АП. Сигнатура. Понятие терма данной сигнатуры. Пример. Ппф АП. Пример. Предложение. Пример.

Алфавит

– множество предметных переменных.

– множество предикатных символов

– множество функциональных символов

– множество предметных констант

– множество логических символов

– вспомогательные символы (запятая, скобочки)

– сигнатура

Языком алгебры предикатовсигнатурыназовем множество всех слов в алфавите.

Понятие термаопределим как:

1. Предметная переменная есть терм

2. Предметная константа есть терм

3. – терм

4. Никаких других термов нет

Пример:

– терм

– не терм

Понятие ппф сигнатуры определим следующим образом:

1. Атомная ппф сигнатуры есть ппф сигнатуры

2. – пп,– ппф сигнатуры

   1. – ппф

   2. – ппф

   3. – ппф

   4. – ппф

   5. – ппф

   6. – ппф

3. Никаких других ппф нет.

Пример:

– ппф

Формула, не содержащая свободных переменных, называется предложением.

Пример:

- предложение