1. Высказывания. Примеры высказываний. Пропозициональные переменные. Определения основных логических операций.

Высказывание – утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Например, «46 – четное число».

Высказывания в будущем будем обозначать латинскими буквами, которые будем называть пропозициональными переменными.

В качестве средств связывания используют логические операции, называемые логическими операциями: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация.

2. Алфавит, язык, правильно построенные формулы алгебры высказываний. Примеры ппф.

Алфавит – любое непустое счетное множество, элементы которого будем называть символами (буквами).

Слово (цепочка) – произвольная последовательность символов данного алфавита.

Если , то– подслова.

A,,B,C– пропозициаональные переменные

- логические связки

Запятая – вспомогательный символ.

Язык алгебры высказываний – множество всех слов алфавита.

Понятие правильно построенной формулы

1. Пп есть ппф

2. Если – ппф, то– ппф

3. Других ппф нет.

– ппф

– не ппф

3. Теорема о замене подформулы ппф АВ. Пример

Пусть - ппф.подформула.

Тогда результат замены тоже ппф.

4. Теорема о подстановке формулы вместо пропозициональной переменной в ппф. Пример.

Пусть – ппф,– пп.

Тогда результат замены тоже ппф.

5. Значение ппф АВ. Таблица истинности. Пример построения таблицы истинности. Выполнимые, опровержимые, тождественно истинные, тождественно ложные формулы АВ. Примеры.

Значение ппф определим следующим образом:

1. Если ппф – пп, то её значение (tилиf) задается непосредственно

2. Если ппф не является пп, то

   1. Если ппф имеет вид, тотогда и только тогда, когда.

   2. Если ппф имеет вид, тотогда и только тогда, когда.

   3. Если ппф имеет вид, тотогда и только тогда, когда.

   4. Если ппф имеет вид, тотогда и только тогда, когда

Ппф называется выполнимой, если существует такой набор значений пропозициональных переменныхна котором

Ппф называется опровержимой, если существует такой набор значений пропозициональных переменыхна котором.

Ппф называется тождественно истинной, еслидля любого набора значений. Тождественно истинную формулу будем обозначать. (Iбольшая)

Ппф называется тождественно ложной, еслидля любого набора значений. Её мы будем обозначатьF.

Примеры:

– выполнимая, опровержимая.

– тождественно истинная

– тождественно ложная

6. Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной переменной в тождественно истинной формуле.

Пусть – ппф,– тождественно истинна,P– пропозициональная переменная.

Тогда – тождественно истинная формула.

7. Теорема о правилеmodus ponens

Если формулы итождественно истинны, то формулатакже тождественно истинна.

8. Эквивалентные формулы алгебры высказываний.

Пусть и– ппф, а– пп, такие, что

• Каждая из которых входит, по крайней мере, в одну из формул или

• В формулы и ­входят пропозициональные переменные только из данного набора.

Формулы иназовем эквивалентными, если при любых наборах значений пропозициональных переменныхзначенияисовпадают. Факт эквивалентности будем записывать как.

Все тождественно истинные формулы эквивалентны, все тождественно ложные формулы эквивалентны.

9. Теорема о подстановке ппф вместо пропозициональной переменной в эквивалентные формулы АВ.

Пусть - ппф,P– пп.

Тогда, если , то

10. Теорема о замене подформулы на эквивалентную формулу в ппф АВ.

Пусть – подформула ппф,.– результат заменынав ппф. Тогда.

11. Понятие формулы с тесными отрицаниями. Пример.

Ппф АВ называется формулой с тесными отрицаниями, если она не содержит связки , а если имеются связки, то они относятся только к пп.

– формула с тесными отрицаниями

– не является формулой с тесными отрицаниями

12. Теорема об эквивалентной формуле с тесными отрицаниями

Для любой ппф алгебры высказываний существует эквивалентная ей формула с тесными отрицаниями.

13. Понятие днф и кнф. Примеры.

Элементарной конъюнкциейназывается конъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозициональной переменной, либо пропозициональной переменной с тесным отрицанием.

Элементарной дизъюнкциейназывается дизъюнкция формул, каждая из которых является либо пропозициональной переменной, либо пропозициональной переменной с тесным отрицанием.

Дизъюнктивной нормальной формой (днф)называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Конъюнктивной нормальной формой (кнф)называется произвольная конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Примеры:

- днф

– кнф