1.9. Графическое решение уравнений и систем уравнений

1.9.1.Графический способ решения уравнений

• Для того, чтобы решить уравнение графическим способом (графически), необходимо выполнить следующие действия:

1. Построить график левой части уравнения

у₁ = Левая часть

2. Построить график правой части уравнения

у₂ = Правая часть

3. Если графики пересеклись, то:

1. количество корней равно количеству точек пересечения

2. абсциссы (х) точек пересечения являются корнями уравнения

4. Если графики не пересеклись, то уравнение корней не имеет.

• Для справки:

Графики часто встречающихся функций – см.пункт 1.8.3.Справка.

• Замечания:

1. График функции у = f(x)+ C получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом по оси ординат (у) вверх, если С > 0 и вниз, если С<0.

2. График функции у = f(x+С) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом по оси абсцисс (х) влево, если С > 0 и вправо, если С<0.

3. График функции у = │f(x)│ ) получается из графика функции у = f(x) отображением части графика, расположенной ниже оси абсцисс, на верхнюю полуплоскость.

4. График функции у = f(│x│)получается из графика функции у = f(x) отображением части графика, расположенной справа от оси ординат, симметрично оси на левую полуплоскость.

5. Иногда, прежде, чем строить график, уравнение удобно преобразовать. Например: уравнение х³+4=х²+3х удобно записать в виде: х³ =х²+3х-4.

Пример:

Сколько корней имеет уравнение х²-3х-10=│х│? Назовите приближенные значения корней.

Решение

1. Пусть у₁= х²-3х-10 – парабола

1. Ветви направлены вверх, т.к. а=1>0

2. Точки пересечения параболы с осями:

С осью х: х²-3х-10=0, х₁=5,х₂=-2

С осью у: х=0, у(0)=-10.

3. Координаты вершины параболы:

х₀=1,5, у₀=у(1,5)= -

Следовательно, вершина парабола в точке А(1,5;…)

2. Пусть у₂=│х│ - «галочка»

3. Получаем

Ответ: уравнение имеет 2 корня.

Решите уравнения графически:

1. х²-9=2х+7

2. х²-6х+7=х³-2

3. 4-х²=х+1

Решите уравнения графически - самостоятельно!

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1	х2-5х-14=х3	6	√х=-2х+3
2	х2+2х+15=-2х+6	7	х=х3+2
3	х2-1=3х+9	8	6х-х2=9-х
4	│х│=х2+2х-8	9	х2-4х= - │х│
5	х3-1=х2-2х	10	х2+2х=-2х-9

2. Графическое решение системы уравнений

Для того, чтобы решить систему уравнений графическим способом, нужно выполнить следующие действия:

1. Построить график первого уравнения, выразив из него «у₁»

2. Построить график второго уравнения, выразив из него «у₂»

3. Найти координаты точек пересечения графиков у₁ и у₂, если они пересеклись. Количество точек пересечения равно количеству решений системы.

4. Если графики не пересеклись, то это означает, что система решений не имеет.

Пример:

Сколько решений имеет система уравнений?

Решение

1. Из первого уравнения: - гипербола. Вычислим несколько конкретных точек:

   х	1	2	-1	-2
   У	2	1	-2	-1

2. Из второго уравнения: у₂=5-х² – парабола:

а) Ветви направлены вниз, т.к. а=-1< 0

б) Точки пересечения параболы с осями:

С осью х: 5-х²=0, х₁=+ ,х₂=-

С осью у: х=0, у(0)=5.

в) Координаты вершины параболы:

х₀=0, у₀=5

Следовательно, вершина парабола в точке А(0;5)

*. Как можно было иначе построить параболу?

3. Получаем:

4. Очевидно, что система имеет 3 решения, т.к. графики пересеклись в 3 точках.

Ответ: система имеет 3 решения.

Решите системы графически:

1. 2. 3. 4. 5.

Ответы: 1) (2;8); 2) (1;-2) и (-1,5;-3,25) 3) (2;6) и (6;2) 4) (3;4) и (4;3) 5)(-1;2) и (0,5;2,75)

Решите систему самостоятельно:

(k,m,n,p возьмите из таблицы)

вариант данные
к	1	4	6	1	4	6	1	1
m	-0.5	-2	0.5	1	2	-0.5	-1	1
n	0	12	1	4	12	1	2	2
p	2	-14	-4.5	2	14	4.5	1	-1