6.2 Ортогональная проекция

При ортогональной проекции линии проектирования перпендикулярны плоскости проекции. Проведем через точки A, B, C, D линии, перпендикулярные плоскости проекции р; в пересечении их с плоскостью р получим ортогональные проекции a, b, с, d соответствующих точек (рисунок 6.1, б).

6.3 Горизонтальная проекция

Чтобы изобразить на бумаге участок земной поверхности, нужно выполнить две операции: сначала спроектировать все точки участка на поверхность относимости (на поверхность эллипсоида вращения или на поверхность сферы) и затем изобразить поверхность относимости на плоскости. Если участок местности небольшой, то соответствующий ему

участок сферы или поверхности эллипсоида можно заменить плоскостью и считать, что проектирование выполняется сразу на плоскость.

При проектировании отдельных точек и целых участков земной поверхности на поверхность относимости применяется горизонтальная проекция, в которой проектирование выполняют отвесными линиями.

Рисунок 6.2 – Горизонтальная проекция

Пусть точки А, В, С находятся на поверхности Земли (рисунок 6.2). Спроектируем их на поверхность относимости и получим их горизонтальные проекции – точки a, b, c.

Линия ab называется горизонтальной проекцией или горизонтальным проложением линии местности АВ и обозначается буквой S. Угол между линией АВ и ее горизонтальной проекцией АВ` называется углом наклона и обозначается ν.

Расстояния Аа, Вb, Cc от точек местности до их горизонтальных проекций называются высотами или альтитудами точек и обозначается Н (Н_А, Н_В, Н_с); отметка точки – это численное значение ее высоты. Разность отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h:

h_AB = H_B - H_A (6.1)

6.4 Расчет искажений при замене участка сферы плоскостью

6.4.1 Искажение расстояний

Небольшой участок сферической поверхности при определенных условиях можно принять за плоскость.

Применение модели плоской поверхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участков поверхности Земли, когда искажения, вызванные заменой поверхности сферы или эллипсоида плоскостью, невелики и могут быть вычислены по простым формулам. Небольшую часть сферы (эллипсоида), отличающуюся от плоскости на величину, меньшую ошибок измерений, можно считать плоской.

Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если заменить ее отрезком касательной к этой дуге (рисунок 6.3).

О – центр окружности, дуга АВС радиусом R стягивает центральный угол .

Проведем касательную через середину дуги в точке В и, продолжив радиусы ОА и ОС до пересечения с касательной, получим точки А` и С`.

Пусть дуга АВС имеет длину D, а отрезок касательной А`С` – длину S. Известно, что для окружности D = R , причем угол должен быть выражен в

радианах.

Рисунок 6.3 – Замена сферы плоскостью

Из имеем

(6.2)

Разность обозначим через и напишем:

(6.3)

- разложение в ряд

(6.4)

, но

. (6.5)

Отношение называется относительным искажением длины дуги при замене её отрезком касательной, оно будет равно

. (6.6)

Подсчитаем конкретные значения относительного искажения для разных длин дуги D (R = 6400 км):

D = 20 км, ΔD/D = 1/ 1 218000,

D = 30 км, ΔD/D = 1/ 541 000, и т.д.

Достигнутая точность измерения расстояний пока не превышает 1/1000000, поэтому при геодезических работах любой точности участок сферы 20х20 км можно считать плоским. При работах пониженной точности размеры участка сферы, принимаемого за плоскость, можно увеличить.

6.4.2 Искажение высот точек

Если заменить небольшой участок сферы касательной плоскостью, то будут искажены не только длины линий, но и отметки точек. Изменения отметок точек симметричны относительно точки В и зависят от удаления от этой точки.

Обозначим отрезок ВС`, равный половине отрезка А`С`, через S. Отметка точки С`, находящейся на плоскости, отличается от отметки точки С, лежащей на сфере, на величину отрезка СС` = р.

Из треугольника ОВС` следует:

, откуда получаем

, (6.7)

р намного меньше величины 2R, поэтому отбросив ее, мы допустим несущественную ошибку. Таким образом,

. (6.8)

Влияние кривизны Земли на отметки точек нужно учитывать при любых расстояниях между точками; например, при S = 10 км р = 7,8 м и при S = 100 м р = 0,8 мм.

Лекция 7

Линейно-угловой ход

План

7.1 Классификация линейно-угловых ходов

7.2 Вычисление координат пунктов разомкнутого теодолитного хода

7.3 Вычисление координат пунктов замкнутого теодолитного хода

7.4 Привязка линейно-угловых ходов

7.1 Классификация линейно-угловых ходов

Для определения координат нескольких точек можно применить различные способы; наиболее распространенными из них являются линейно-угловой ход, система линейно-угловых ходов, триангуляция, трилатерация и некоторые др.

Линейно-угловой ход представляет собой последовательность полярных засечек, в которой измеряются горизонтальные углы и расстояния между соседними точками (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 - Схема линейно-угловых ходов

Исходными данными в линейно-угловом ходе являются координаты X_A, Y_A пункта А и дирекционный угол линии ВА, который называется начальным исходным дирекционным углом; этот угол может задаваться неявно через координаты пункта В.

Измеряемые величины – это горизонтальные углы b₁, b₂, b₃,…,b_k и расстояния s₁, s₂, s₃,…, s_k. Известны также ошибки измерения углов m_β и относительная ошибка измерения расстояний m_s / S = 1/ Т.

Дирекционные углы сторон хода вычисляют последовательно по формулам передачи дирекционного угла через угол поворота:

для левых углов , (7.1)

для правых углов . (7.2)

Для хода на рисунке имеем:

α 1-2 = αВА + β1 - 180° (7.3)

α 2-3 = α1-2 + β2 - 180° (7.4)

и т.д.

Координаты пунктов хода получают из решения прямой геодезической задачи сначала от пункта А к пункту 2, затем от пункта 2 к пункту 3 и т.д., до конца хода.

На практике применяют ходы, в которых предусматривается контроль измерений.

Линейно-угловые ходы подразделяют на следующие виды:

- разомкнутый ход: исходные пункты с известными координатами и исходные дирекционные углы есть в начале и конце хода.

- замкнутый линейно-угловой ход – начальный и конечный пункты хода совмещены; один пункт хода называется исходным пунктом и имеет известные координаты; на этом пункте должно быть исходное направление с известным дирекционным углом, и измеряется угол между этим направлением и направлением на второй пункт хода.

- висячий линейно-угловой ход имеет исходный пункт с известными координатами и исходный дирекционный угол только в начале хода.

- свободный линейно-угловой ход не имеет исходных пунктов и исходных дирекционных углов ни в начале хода, ни в конце хода.

По точности измерения горизонтальных углов и расстояний линейно-угловые ходы делятся на 2 большие группы: теодолитные ходы и полигонометрические ходы.

В теодолитных ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой не более 30¢¢; относительная ошибка измерений расстояний m_s / S колеблется от 1/1000 до 1/3000.

В полигонометрических ходах горизонтальные углы измеряют с ошибкой от 0,4″ до 10¢¢, а относительная ошибка измерения расстояний m_s / S бывает от 1/5000 до 1/300000.

7.2 Вычисление координат пунктов разомкнутого теодолитного угла

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. В разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

α_1-2 = α_нач. + β₁ – 180^о;

α_2-3 = α_{1 -2} + β₂ –180°;

………………… (7.5)

α_n-1 = α_n-2 + β_n-2 – 180^о

α_кон.= α_n-1 + β_n - 180^о.

Сложим эти равенства и получим теоретические суммы углов:

α_кон. = α_нач. + ∑β – 180^о ·n, (7.6)

∑β_теор. = α_кон. – α_нач. + 180^о·n - для левых углов, (7.7)

∑β_теор. = α_нач – α_кон. + 180^о ·n - для правых углов. (7.8)

Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую f_β:

f_β = ∑β_изм.- ∑β_теор. (7.9)

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

f_βдоп. = 2·m_β·√n. (7.10)

Для теодолитных ходов m_β = 30″, поэтому:

f_{βдоп. =} 1´√n. (7.11)

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол V_b и запишем условие:

(7.12)

, (7.13)

т.е. поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

; (7.14)

Это означает, что угловая невязка f_β распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

β_ί = β_ί(изм.) + V_βί . (7.15)

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем правильности обработки угловых измерений.

Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода DX_ί, DY_ί, координаты пунктов хода получим по формулам:

; ;

;

………………………………………………………..

; ;

; . (7.16)

Сложим эти равенства и получим

(7.17)

, (7.18)

, (7.19)

. (7.20)

- эти два условия называются координатными.

Суммы приращений координат называются теоретическими. Возникают координатные невязки хода:

; (7.21)

. (7.22)

Вычисляют абсолютную невязку хода:

, (7.23)

а затем относительную невязку хода:

1/N = f_S/ Σ(S_i), (7.24)

где - Σ (S_i) – сумма длин сторон хода.

Уравнивание приращений выполняют следующим образом. Сначала записывают суммы исправленных приращений:

;

;

и приравнивают к их теоретическим суммам:

откуда следует, что

;

; (7.25)

На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

Vx_ί = -f_χ × S_ί / ∑S;

Vy_i = -f_y × S_ί / ∑S, (7.26)

которые соответствуют условию – «поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон».

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной невязки хода f_S. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.