Зміст практичного заняття
1 Обчислення кількості розміщень, сполучень і перестановок
Задача 1. Скількома можливими способами можна вибрати з 15 людей делегацію в складі 3 осіб.
Розв'язання
Шукане число (кількість можливих вибірок) є числом сполучень із 15 по 3.
.
Задача 2. Скільки різних слів можна утворити, переставляючи букви у слові математика?
Задача 3. В класі 35 учнів, з них: 20 відвідують математичний гурток, 11 – фізичний, 10 – жодного не відвідують. Скільки учнів відвідують математичний і фізичний гурток? Скільки лише математичний?
Задача 4. Є 10 дітей і 20 однакових подарунків. Скількома способами можна розподілити подарунки між дітьми?
2 Біном Ньютона. Трикутник Паскаля
Задача 5. Визначити коефіцієнт при х12у13 у розкладі (х+у)25.
Розв’язання
.
Задача 6. Обчислити біноміальні коефіцієнти для розкладу (х+у)4.
Задача
7. Користуючись біноміальною теоремою
довести, що
.
Задача 8. Знайти кількість невід’ємних цілих розв’язків рівняння х1 +х2 +х3 =11.
Задача
9. Знайти кількість невід’ємних цілих
розв’язків нерівності х1
+х2
+х3
11.
3 Генерування перестановок, сполучень і розбиттів множин
Задача 10. Побудувати перестановку, яка є лексикографічно наступною за 362541.
Розв’язання
Перша справа пара чисел, у якій число, що ліворуч, менше від числа, що праворуч, – це 25. Розглянемо послідовність 541. Серед чисел 5,4,1 найменше число, що більше 2, дорівнює 4. Міняємо місцями 4 і 2, а решту чисел 2,5,1 розташовуємо у зростаючому порядку на місцях, що залишилися.
Задача 11. Множина А={1,2,3,4,5,6}. Знайти сполуку, яка є наступною за сполукою {1,2,5,6} у лексикографічно наступному порядку.
Закріплення вивченого і оцінювання рівня знань
Оцінювання знань студентів здійснюється шляхом оцінювання правильності відповідей, правильності розв’язування задач, активності на занятті.
Домашнє завдання
Задача 1. Побудувати перестановку, яка є лексикографічно наступною за 16274.
Задача 2. Множина А={1,2,3,4,5,6}. Знайти сполуку, яка є наступною за сполукою {1,2,4,5} у лексикографічно наступному порядку.
ВИКЛАДАЧ – Данилова В.А.
Практичне заняття №7
ТЕМА:Рекурентні рівняння (2 год.)
МЕТА:
навчальна: вчити студентів розв’язувати однорідні та неоднорідні рекурентні рівняння;
розвиваюча: розвивати поняття «рівняння»;
виховна: виховувати інтерес до комп’ютерної математики.
ОБЛАДНАННЯ: олівці, лінійки
ПЛАН
1 Розв’язування однорідних рекурентних рівнянь
2 Розв’язування неоднорідних рекурентних рівнянь
Зміст практичного заняття
1 Розв’язування однорідних рекурентних рівнянь
Задача 1. Послідовність чисел Фібоначі задає рекурентне рівняння другого порядку fn=fn-1+fn-2 з початковими умовами f0=0, f1=1. Розв’язати це рівняння.
Розв'язання
Маємо рівняння другого степеня.
Запишемо характеристичне рівняння.
r2 – r -1=0
Розв’язавши це рівняння, маємо
Отже,
.
Задача 2. Розв’язати рекурентне рівняння аn=-4аn-4+5аn-2 з початковими умовами а0=3, а1=2, а2 =6, а3=8.
Задача 3. Розв’язати рекурентне рівняння аn=6аn-1-9аn-2 з початковими умовами а0=3, а1=3.
Задача 4. Розв’язати рекурентне рівняння аn=аn-1+6аn-2 з початковими умовами а0=3, а1=6.
2 Розв’язування неоднорідних рекурентних рівнянь
Задача 5. Розв’язати неоднорідне рекурентне рівняння аn=-аn-2+n+1 з початковими умовами а0=5, а1=-1.
Розв’язання
Відповідне однорідне рекурентне рівняння аn=-аn-2
Характеристичне рівняння r2 – 1=0
Загальний розв’язок однорідного рівняння
Частковий
розв’язок неоднорідного рівняння
шукаємо у вигляді
.
Підставимо у неоднорідне рівняння. Отримаємо
D0n+D1n2=D0(n-2)+D1(n-2)2+n+1
(4D1-2D0+1)+(1-2D1)n=0
,
Частковий розв’язок
.
.
За даних початкових умов маємо систему лінійних рівнянь
Задача 6. Розв’язати неоднорідне рекурентне рівняння аn=4аn-1 -4аn-2+n2n з початковими умовами а0=0, а1=0.