§2. Линейные операции над векторами. Линейное пространство

1. Сложение векторов

1. Правило треугольника

def. Суммой векторов и называется вектор = + , который соединяет начало 1-го вектора с концом 2-го, при условии, что точка приложения 2-го вектора находится в конце 1-го. Распространяется на любое конечное число векторов.

Частный случай. Сложение коллинеарных векторов.

2. Правило параллелограмма

Отложить от т. О векторы и . Построить на этих векторах как на сторонах параллелограмм. Вектор, служащий диагональю параллелограмма, проведенный из т. О, является суммой + .

2. Вычитание векторов

def. Разностью двух векторов и называется вектор =  , который при сложенным с вектором дает вектор .

Если =  , то + = .

Из определения вытекает правило построения  .

Вектор =  направлен из конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

Частный случай.

Итак:

3. Умножение вектора на число

def. Произведением вектора на число λ называется вектор λ :

1. коллинеарный вектору ;

2. имеющий длину ;

3. тоже направление, что и , если , противоположное направлению , если

 единичный вектор (орт) вектора , т.е. коллинеарен , одинакового с ним направления, . Тогда

или .

Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными. Они обладают следующими свойствами:

1) ( , ) + = + (коммутативность сложения);

2) ( , , ) ( + ) + = + ( + ) (ассоциативность сложения);

3) ( ) + = ;

4) ( ) + ( ) = ;

5) ( ,  ,   R)  ( ) = ( ) ;

6) ( ) 1 = ;

7) ( ,  ,   R) ( + ) =  + ;

8) ( , ,    R)  ( + ) =  +  .

Множество векторов пространства (плоскости), удовлетворяющих свойствам 1–8, образуют линейное (векторное) пространство, которое обозначается R³ (R²).

Замечание. Операции сложения векторов и умножения вектора на число можно распространить на множество объектов произвольной природы. Тогда получим обобщенное понятие линейного (векторного) пространства. 

def. Множество называется линейным (векторным) пространством, если: 1) правило, которое ;

2) правило, которое .

При этом сумма и произведение удовлетворяет свойствам 1–8.

§3. Проекция вектора на ось

Пусть даны: l – некоторая ось и – произвольный вектор.

проекция А на ось l, координата на l;

проекция B на ось l, координата на l.

def. Проекцией вектора на ось называется разность

.

Обозначим угол между и l; – наименьший угол, на который надо повернуть единичный вектор оси l до совпадения с .

	острый угол
	тупой угол